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Theorem suppvalbr 6902
Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppvalbr  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) } )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr
StepHypRef Expression
1 suppval 6900 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  e. 
dom  R  |  ( R " { x }
)  =/=  { Z } } )
2 df-rab 2823 . . . 4  |-  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  {
x  |  ( x  e.  dom  R  /\  ( R " { x } )  =/=  { Z } ) }
3 vex 3116 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
4 eldmg 5196 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  e.  dom  R  <->  E. y  x R y ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R  <->  E. y  x R y )
6 df-sn 4028 . . . . . . . 8  |-  { Z }  =  { y  |  y  =  Z }
76neeq2i 2754 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  x R y }  =/=  { Z }  <->  { y  |  x R y }  =/=  { y  |  y  =  Z } )
8 imasng 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  ( R " { x }
)  =  { y  |  x R y } )
93, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( R
" { x }
)  =  { y  |  x R y }
109neeq1i 2752 . . . . . . 7  |-  ( ( R " { x } )  =/=  { Z }  <->  { y  |  x R y }  =/=  { Z } )
11 nabbi 2800 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  { y  |  x R y }  =/=  { y  |  y  =  Z }
)
127, 10, 113bitr4i 277 . . . . . 6  |-  ( ( R " { x } )  =/=  { Z }  <->  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) )
135, 12anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  R  /\  ( R " {
x } )  =/= 
{ Z } )  <-> 
( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) )
1413abbii 2601 . . . 4  |-  { x  |  ( x  e. 
dom  R  /\  ( R " { x }
)  =/=  { Z } ) }  =  { x  |  ( E. y  x R
y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) ) }
152, 14eqtri 2496 . . 3  |-  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  {
x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) }
1615a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) } )
17 df-ne 2664 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  Z  <->  -.  y  =  Z )
1817bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  Z  <->  y  =/=  Z )
1918bibi2i 313 . . . . . 6  |-  ( ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  ( x R y  <->  y  =/=  Z ) )
2019exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  E. y
( x R y  <-> 
y  =/=  Z ) )
2120anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( E. y  x R y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) )  <->  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) )
2221abbii 2601 . . 3  |-  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) }  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) }
2322a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) ) }  =  { x  |  ( E. y  x R
y  /\  E. y
( x R y  <-> 
y  =/=  Z ) ) } )
241, 16, 233eqtrd 2512 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   "cima 5002  (class class class)co 6282   supp csupp 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899
This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6908  suppimacnv  6909
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