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Theorem suppvalbr 6921
Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppvalbr  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) } )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr
StepHypRef Expression
1 suppval 6919 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  e. 
dom  R  |  ( R " { x }
)  =/=  { Z } } )
2 df-rab 2816 . . . 4  |-  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  {
x  |  ( x  e.  dom  R  /\  ( R " { x } )  =/=  { Z } ) }
3 vex 3112 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
43eldm 5210 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R  <->  E. y  x R y )
5 df-sn 4033 . . . . . . . 8  |-  { Z }  =  { y  |  y  =  Z }
65neeq2i 2744 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  x R y }  =/=  { Z }  <->  { y  |  x R y }  =/=  { y  |  y  =  Z } )
7 imasng 5369 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  ( R " { x }
)  =  { y  |  x R y } )
83, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( R
" { x }
)  =  { y  |  x R y }
98neeq1i 2742 . . . . . . 7  |-  ( ( R " { x } )  =/=  { Z }  <->  { y  |  x R y }  =/=  { Z } )
10 nabbi 2790 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  { y  |  x R y }  =/=  { y  |  y  =  Z }
)
116, 9, 103bitr4i 277 . . . . . 6  |-  ( ( R " { x } )  =/=  { Z }  <->  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) )
124, 11anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  dom  R  /\  ( R " {
x } )  =/= 
{ Z } )  <-> 
( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) )
1312abbii 2591 . . . 4  |-  { x  |  ( x  e. 
dom  R  /\  ( R " { x }
)  =/=  { Z } ) }  =  { x  |  ( E. y  x R
y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) ) }
142, 13eqtri 2486 . . 3  |-  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  {
x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) }
1514a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { x  e.  dom  R  |  ( R " { x } )  =/=  { Z } }  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) } )
16 df-ne 2654 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  Z  <->  -.  y  =  Z )
1716bicomi 202 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  Z  <->  y  =/=  Z )
1817bibi2i 313 . . . . . 6  |-  ( ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  ( x R y  <->  y  =/=  Z ) )
1918exbii 1668 . . . . 5  |-  ( E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z )  <->  E. y
( x R y  <-> 
y  =/=  Z ) )
2019anbi2i 694 . . . 4  |-  ( ( E. y  x R y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) )  <->  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) )
2120abbii 2591 . . 3  |-  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  -.  y  =  Z ) ) }  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) }
2221a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y
( x R y  <->  -.  y  =  Z
) ) }  =  { x  |  ( E. y  x R
y  /\  E. y
( x R y  <-> 
y  =/=  Z ) ) } )
231, 15, 223eqtrd 2502 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( R supp  Z )  =  { x  |  ( E. y  x R y  /\  E. y ( x R y  <->  y  =/=  Z
) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109   {csn 4032   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   "cima 5011  (class class class)co 6296   supp csupp 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6918
This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6927  suppimacnv  6928
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