Theorem suppvalbr 6915

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	|- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 6913	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } )
2		df-rab 2745	. . . 4 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) }
3		vex 3047	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 5031	. . . . . 6 |- ( x e. dom R <-> E. y x R y )
5		df-sn 3968	. . . . . . . 8 |- { Z } = { y | y = Z }
6	5	neeq2i 2688	. . . . . . 7 |- ( { y | x R y } =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
7		imasng 5189	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ( R " { x } ) = { y | x R y } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( R " { x } ) = { y | x R y }
9	8	neeq1i 2687	. . . . . . 7 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { Z } )
10		nabbi 2724	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
11	6, 9, 10	3bitr4i 281	. . . . . 6 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> E. y ( x R y <-> -. y = Z ) )
12	4, 11	anbi12i 702	. . . . 5 |- ( ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) )
13	12	abbii 2566	. . . 4 |- { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
14	2, 13	eqtri 2472	. . 3 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
15	14	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } )
16		df-ne 2623	. . . . . . . 8 |- ( y =/= Z <-> -. y = Z )
17	16	bicomi 206	. . . . . . 7 |- ( -. y = Z <-> y =/= Z )
18	17	bibi2i 315	. . . . . 6 |- ( ( x R y <-> -. y = Z ) <-> ( x R y <-> y =/= Z ) )
19	18	exbii 1717	. . . . 5 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> E. y ( x R y <-> y =/= Z ) )
20	19	anbi2i 699	. . . 4 |- ( ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) )
21	20	abbii 2566	. . 3 |- { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) }
22	21	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )
23	1, 15, 22	3eqtrd 2488	1 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   {cab 2436   =/= wne 2621   {crab 2740   _Vcvv 3044   {csn 3967   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   "cima 4836  (class class class)co 6288   supp csupp 6911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pr 4638  ax-un 6580

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-supp 6912

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6921  suppimacnv  6922