Theorem suppvalbr 6902

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	|- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 6900	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } )
2		df-rab 2823	. . . 4 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) }
3		vex 3116	. . . . . . 7 |- x e. _V
4		eldmg 5196	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> ( x e. dom R <-> E. y x R y ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( x e. dom R <-> E. y x R y )
6		df-sn 4028	. . . . . . . 8 |- { Z } = { y | y = Z }
7	6	neeq2i 2754	. . . . . . 7 |- ( { y | x R y } =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
8		imasng 5357	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ( R " { x } ) = { y | x R y } )
9	3, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( R " { x } ) = { y | x R y }
10	9	neeq1i 2752	. . . . . . 7 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { Z } )
11		nabbi 2800	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
12	7, 10, 11	3bitr4i 277	. . . . . 6 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> E. y ( x R y <-> -. y = Z ) )
13	5, 12	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) )
14	13	abbii 2601	. . . 4 |- { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
15	2, 14	eqtri 2496	. . 3 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
16	15	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } )
17		df-ne 2664	. . . . . . . 8 |- ( y =/= Z <-> -. y = Z )
18	17	bicomi 202	. . . . . . 7 |- ( -. y = Z <-> y =/= Z )
19	18	bibi2i 313	. . . . . 6 |- ( ( x R y <-> -. y = Z ) <-> ( x R y <-> y =/= Z ) )
20	19	exbii 1644	. . . . 5 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> E. y ( x R y <-> y =/= Z ) )
21	20	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) )
22	21	abbii 2601	. . 3 |- { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) }
23	22	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )
24	1, 16, 23	3eqtrd 2512	1 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113   {csn 4027   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   "cima 5002  (class class class)co 6282   supp csupp 6898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6908  suppimacnv  6909