Theorem suppvalbr 6921

Description: The value of the operation constructing the support of a function expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
suppvalbr	|- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Distinct variable groups:   x, R, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem suppvalbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suppval 6919	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } )
2		df-rab 2816	. . . 4 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) }
3		vex 3112	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 5210	. . . . . 6 |- ( x e. dom R <-> E. y x R y )
5		df-sn 4033	. . . . . . . 8 |- { Z } = { y | y = Z }
6	5	neeq2i 2744	. . . . . . 7 |- ( { y | x R y } =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
7		imasng 5369	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ( R " { x } ) = { y | x R y } )
8	3, 7	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( R " { x } ) = { y | x R y }
9	8	neeq1i 2742	. . . . . . 7 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> { y | x R y } =/= { Z } )
10		nabbi 2790	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> { y | x R y } =/= { y | y = Z } )
11	6, 9, 10	3bitr4i 277	. . . . . 6 |- ( ( R " { x } ) =/= { Z } <-> E. y ( x R y <-> -. y = Z ) )
12	4, 11	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) )
13	12	abbii 2591	. . . 4 |- { x | ( x e. dom R /\ ( R " { x } ) =/= { Z } ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
14	2, 13	eqtri 2486	. . 3 |- { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) }
15	14	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x e. dom R | ( R " { x } ) =/= { Z } } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } )
16		df-ne 2654	. . . . . . . 8 |- ( y =/= Z <-> -. y = Z )
17	16	bicomi 202	. . . . . . 7 |- ( -. y = Z <-> y =/= Z )
18	17	bibi2i 313	. . . . . 6 |- ( ( x R y <-> -. y = Z ) <-> ( x R y <-> y =/= Z ) )
19	18	exbii 1668	. . . . 5 |- ( E. y ( x R y <-> -. y = Z ) <-> E. y ( x R y <-> y =/= Z ) )
20	19	anbi2i 694	. . . 4 |- ( ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) <-> ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) )
21	20	abbii 2591	. . 3 |- { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) }
22	21	a1i 11	. 2 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> -. y = Z ) ) } = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )
23	1, 15, 22	3eqtrd 2502	1 |- ( ( R e. V /\ Z e. W ) -> ( R supp Z ) = { x | ( E. y x R y /\ E. y ( x R y <-> y =/= Z ) ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109   {csn 4032   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   "cima 5011  (class class class)co 6296   supp csupp 6917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6918

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  6927  suppimacnv  6928