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Theorem suppssov1 6823
Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssov1.s  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssov1.o  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
suppssov1.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssov1.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
suppssov1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
Assertion
Ref Expression
suppssov1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, v    ph, x    v, B    x, D    v, O    v, R    v, Y    x, Y    v, Z    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, v)    B( x)    D( v)    R( x)    L( x, v)    O( x)    V( x, v)    W( x, v)

Proof of Theorem suppssov1
StepHypRef Expression
1 suppssov1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
2 elex 3079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
43adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  _V )
6 eldifsni 4101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( A O B )  =/=  Z )
7 suppssov1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
87adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  B  e.  R )
9 suppssov1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
109ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
13 oveq2 6200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  B  ->  ( Y O v )  =  ( Y O B ) )
1413eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  B  ->  (
( Y O v )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1514rspcva 3169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )  -> 
( Y O B )  =  Z )
168, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( Y O B )  =  Z )
17 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  ( Y O B ) )
1817eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  Y  ->  (
( A O B )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1916, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  Z ) )
2019necon3d 2672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  =/= 
Z  ->  A  =/=  Y ) )
216, 20syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  =/=  Y ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  =/=  Y )
23 eldifsn 4100 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
245, 22, 23sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
2625ss2rabdv 3533 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
27 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )
28 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
3027, 28, 29mptsuppdifd 6813 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
31 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
32 suppssov1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  W )
3431, 28, 33mptsuppdifd 6813 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
3526, 30, 343sstr4d 3499 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
36 suppssov1.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3736adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3835, 37sstrd 3466 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L )
3938ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
40 mptexg 6048 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
41 ovex 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A O B )  e. 
_V
4241rgenw 2893 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( A O B )  e.  _V
43 dmmptg 5435 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( A O B )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D
45 dmexg 6611 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4644, 45syl5eqelr 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4740, 46impbii 188 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4847anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
49 supp0prc 6795 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  (/) )
5048, 49sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  =  (/) )
51 0ss 3766 . . . 4  |-  (/)  C_  L
5250, 51syl6eqss 3506 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
5352a1d 25 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
5439, 53pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940  (class class class)co 6192   supp csupp 6792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-supp 6793
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