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Theorem suppssov1 6929
Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssov1.s  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssov1.o  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
suppssov1.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssov1.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
suppssov1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
Assertion
Ref Expression
suppssov1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, v    ph, x    v, B    x, D    v, O    v, R    v, Y    x, Y    v, Z    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, v)    B( x)    D( v)    R( x)    L( x, v)    O( x)    V( x, v)    W( x, v)

Proof of Theorem suppssov1
StepHypRef Expression
1 suppssov1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
2 elex 3122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
43adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  _V )
6 eldifsni 4153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( A O B )  =/=  Z )
7 suppssov1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
87adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  B  e.  R )
9 suppssov1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
109ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
13 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  B  ->  ( Y O v )  =  ( Y O B ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  B  ->  (
( Y O v )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1514rspcva 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )  -> 
( Y O B )  =  Z )
168, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( Y O B )  =  Z )
17 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  ( Y O B ) )
1817eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  Y  ->  (
( A O B )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1916, 18syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  Z ) )
2019necon3d 2691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  =/= 
Z  ->  A  =/=  Y ) )
216, 20syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  =/=  Y ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  =/=  Y )
23 eldifsn 4152 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
245, 22, 23sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
2625ss2rabdv 3581 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
27 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )
28 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
29 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
3027, 28, 29mptsuppdifd 6919 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
31 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
32 suppssov1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  W )
3431, 28, 33mptsuppdifd 6919 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
3526, 30, 343sstr4d 3547 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
36 suppssov1.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3736adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3835, 37sstrd 3514 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L )
3938ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
40 mptexg 6128 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
41 ovex 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( A O B )  e. 
_V
4241rgenw 2825 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( A O B )  e.  _V
43 dmmptg 5502 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( A O B )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D
45 dmexg 6712 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4644, 45syl5eqelr 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4740, 46impbii 188 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4847anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
49 supp0prc 6901 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  (/) )
5048, 49sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  =  (/) )
51 0ss 3814 . . . 4  |-  (/)  C_  L
5250, 51syl6eqss 3554 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
5352a1d 25 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
5439, 53pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999  (class class class)co 6282   supp csupp 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-supp 6899
This theorem is referenced by:  suppssof1  6930  evlslem6  17952  ply1coeOLD  18109  plypf1  22344
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