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Theorem suppssov1 6937
Description: Formula building theorem for support restrictions: operator with left annihilator. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssov1.s  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssov1.o  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
suppssov1.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssov1.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
suppssov1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
Assertion
Ref Expression
suppssov1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, v    ph, x    v, B    x, D    v, O    v, R    v, Y    x, Y    v, Z    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x, v)    B( x)    D( v)    R( x)    L( x, v)    O( x)    V( x, v)    W( x, v)

Proof of Theorem suppssov1
StepHypRef Expression
1 suppssov1.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
2 elex 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
43adantll 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
54adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  _V )
6 eldifsni 4100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( A O B )  =/=  Z )
7 suppssov1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  B  e.  R )
87adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  B  e.  R )
9 suppssov1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  R )  ->  ( Y O v )  =  Z )
109ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
1211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )
13 oveq2 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  B  ->  ( Y O v )  =  ( Y O B ) )
1413eqeq1d 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  B  ->  (
( Y O v )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1514rspcva 3160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  R  /\  A. v  e.  R  ( Y O v )  =  Z )  -> 
( Y O B )  =  Z )
168, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( Y O B )  =  Z )
17 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  ( Y O B ) )
1817eqeq1d 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  Y  ->  (
( A O B )  =  Z  <->  ( Y O B )  =  Z ) )
1916, 18syl5ibrcom 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( A  =  Y  ->  ( A O B )  =  Z ) )
2019necon3d 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  =/= 
Z  ->  A  =/=  Y ) )
216, 20syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  =/=  Y ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  =/=  Y )
23 eldifsn 4099 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
245, 22, 23sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
2524ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
2625ss2rabdv 3522 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
27 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )
28 simpll 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
29 simplr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
3027, 28, 29mptsuppdifd 6927 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( A O B )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
31 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
32 suppssov1.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  W )
3332adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  W )
3431, 28, 33mptsuppdifd 6927 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
3526, 30, 343sstr4d 3487 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
36 suppssov1.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3736adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3835, 37sstrd 3454 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L )
3938ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
40 mptexg 6125 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
41 ovex 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( A O B )  e. 
_V
4241rgenw 2767 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( A O B )  e.  _V
43 dmmptg 5322 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( A O B )  e. 
_V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( A O B ) )  =  D
45 dmexg 6717 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4644, 45syl5eqelr 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4740, 46impbii 189 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V )
4847anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
49 supp0prc 6907 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z )  =  (/) )
5048, 49sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  =  (/) )
51 0ss 3770 . . . 4  |-  (/)  C_  L
5250, 51syl6eqss 3494 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
5352a1d 26 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
5439, 53pm2.61i 166 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( A O B ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    C_ wss 3416   (/)c0 3740   {csn 3974    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825  (class class class)co 6280   supp csupp 6904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-supp 6905
This theorem is referenced by:  suppssof1  6938  evlslem6  18503  ply1coeOLD  18660  plypf1  22903
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