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Theorem suppssfv 6954
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssfv.f  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
suppssfv.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssfv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
suppssfv  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, x    x, D    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    U( x)    F( x)    L( x)    V( x)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4158 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( F `  A
)  =/=  Z )
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
3 elex 3118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
54adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  _V )
7 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
8 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  ( F `  Y ) )
98eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  Y  ->  (
( F `  A
)  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  Z ) )
107, 9syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  Z ) )
1110necon3d 2681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( F `  A
)  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1413imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  =/=  Y )
15 eldifsn 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
166, 14, 15sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
1716ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
181, 17syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
1918ss2rabdv 3577 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
20 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )
21 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
22 simplr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
2320, 21, 22mptsuppdifd 6940 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( F `
 A )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
24 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
25 suppssfv.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  U )
2724, 21, 26mptsuppdifd 6940 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
2819, 23, 273sstr4d 3542 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
29 suppssfv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3128, 30sstrd 3509 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L )
3231ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
33 mptexg 6143 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V )
34 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
3534rgenw 2818 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V
36 dmmptg 5510 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  D )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  =  D
38 dmexg 6730 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V )
3937, 38syl5eqelr 2550 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4033, 39impbii 188 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  e.  _V )
4140anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
42 supp0prc 6920 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z )  =  (/) )
4341, 42sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  =  (/) )
44 0ss 3823 . . . 4  |-  (/)  C_  L
4543, 44syl6eqss 3549 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
4645a1d 25 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
4732, 46pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-supp 6918
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