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Theorem suppssfv 6962
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssfv.f  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
suppssfv.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssfv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
suppssfv  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, x    x, D    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    U( x)    F( x)    L( x)    V( x)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4126 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( F `  A
)  =/=  Z )
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
3 elex 3089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
54adantll 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
65adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  _V )
7 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
8 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  ( F `  Y ) )
98eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  Y  ->  (
( F `  A
)  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  Z ) )
107, 9syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  Z ) )
1110necon3d 2644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1211adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( F `  A
)  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1413imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  =/=  Y )
15 eldifsn 4125 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
166, 14, 15sylanbrc 668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
1716ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
181, 17syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
1918ss2rabdv 3542 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
20 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )
21 simpll 758 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
22 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
2320, 21, 22mptsuppdifd 6948 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( F `
 A )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
24 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
25 suppssfv.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
2625adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  U )
2724, 21, 26mptsuppdifd 6948 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
2819, 23, 273sstr4d 3507 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
29 suppssfv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3029adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3128, 30sstrd 3474 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L )
3231ex 435 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
33 mptexg 6150 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V )
34 fvex 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
3534rgenw 2783 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V
36 dmmptg 5351 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  D )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  =  D
38 dmexg 6738 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V )
3937, 38syl5eqelr 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4033, 39impbii 190 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  e.  _V )
4140anbi1i 699 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
42 supp0prc 6928 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z )  =  (/) )
4341, 42sylnbi 307 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  =  (/) )
44 0ss 3793 . . . 4  |-  (/)  C_  L
4543, 44syl6eqss 3514 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
4645a1d 26 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
4732, 46pm2.61i 167 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-supp 6926
This theorem is referenced by:  evlslem2  18734  evlslem6  18735
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