MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfv Structured version   Unicode version

Theorem suppssfv 6828
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
suppssfv.f  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
suppssfv.v  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
suppssfv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
Assertion
Ref Expression
suppssfv  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Distinct variable groups:    ph, x    x, D    x, Y    x, Z
Allowed substitution hints:    A( x)    U( x)    F( x)    L( x)    V( x)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 4102 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  -> 
( F `  A
)  =/=  Z )
2 suppssfv.v . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  V )
3 elex 3080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  _V )
54adantll 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  A  e.  _V )
65adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  _V )
7 suppssfv.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  =  Z )
8 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  ( F `  Y ) )
98eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  Y  ->  (
( F `  A
)  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  Z ) )
107, 9syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  =  Y  ->  ( F `  A )  =  Z ) )
1110necon3d 2672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( F `  A
)  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  =/=  Y ) )
1413imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  =/=  Y )
15 eldifsn 4101 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( _V  \  { Y } )  <->  ( A  e.  _V  /\  A  =/= 
Y ) )
166, 14, 15sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  /\  ( F `  A )  =/=  Z
)  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) )
1716ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  =/=  Z  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
181, 17syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  /\  x  e.  D
)  ->  ( ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  A  e.  ( _V  \  { Y } ) ) )
1918ss2rabdv 3534 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  { x  e.  D  |  ( F `  A )  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
20 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )
21 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  D  e.  _V )
22 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
2320, 21, 22mptsuppdifd 6814 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z )  =  { x  e.  D  |  ( F `
 A )  e.  ( _V  \  { Z } ) } )
24 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  |->  A )  =  ( x  e.  D  |->  A )
25 suppssfv.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
2625adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  Y  e.  U )
2724, 21, 26mptsuppdifd 6814 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y )  =  { x  e.  D  |  A  e.  ( _V  \  { Y } ) } )
2819, 23, 273sstr4d 3500 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp 
Y ) )
29 suppssfv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  A ) supp  Y
)  C_  L )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  A ) supp  Y ) 
C_  L )
3128, 30sstrd 3467 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L )
3231ex 434 . 2  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
33 mptexg 6049 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  _V  ->  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V )
34 fvex 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 A )  e. 
_V
3534rgenw 2894 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V
36 dmmptg 5436 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  D  ( F `  A )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  =  D )
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom  (
x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  =  D
38 dmexg 6612 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V )
3937, 38syl5eqelr 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e.  _V  ->  D  e.  _V )
4033, 39impbii 188 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  <->  ( x  e.  D  |->  ( F `
 A ) )  e.  _V )
4140anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A
) )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
42 supp0prc 6796 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z )  =  (/) )
4341, 42sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  =  (/) )
44 0ss 3767 . . . 4  |-  (/)  C_  L
4543, 44syl6eqss 3507 . . 3  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
4645a1d 25 . 2  |-  ( -.  ( D  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( x  e.  D  |->  ( F `  A
) ) supp  Z ) 
C_  L ) )
4732, 46pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  ( F `  A ) ) supp  Z
)  C_  L )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supp csupp 6793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-supp 6794
This theorem is referenced by:  evlslem2  17713  evlslem6  17714
  Copyright terms: Public domain W3C validator