MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem suppssfifsupp 7840
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 7737 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
3 3ancoma 980 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  <->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W
) )
43biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
6 funisfsupp 7830 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
82, 7mpbird 232 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Fun wfun 5580  (class class class)co 6282   supp csupp 6898   Fincfn 7513   finSupp cfsupp 7825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fsupp 7826
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  7841  fsfnn0gsumfsffz  16799  mptscmfsupp0  17356  psrass1lem  17797  psrlidm  17824  psrridm  17826  psrass1  17828  psrdi  17829  psrdir  17830  psrass23l  17831  psrcom  17832  psrass23  17833  mplsubrglem  17868  mplsubrg  17870  mvrcl  17879  mplmon  17893  mplmonmul  17894  mplcoe1  17895  mplcoe5  17899  mplbas2  17902  psrbagev1  17945  evlslem2  17948  evlslem6  17949  evlslem3  17951  psropprmul  18047  coe1mul2  18078  ply1coeOLD  18106  uvcff  18586  uvcresum  18588  frlmup1  18596  plypf1  22341  tayl0  22488  lincresunit2  32152
  Copyright terms: Public domain W3C validator