MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem suppssfifsupp 7862
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 7759 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
3 3ancoma 980 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  <->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W
) )
43biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
6 funisfsupp 7852 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
82, 7mpbird 232 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   Fun wfun 5588  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-om 6700  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fsupp 7848
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  7863  fsfnn0gsumfsffz  17138  mptscmfsupp0  17703  psrass1lem  18156  psrlidm  18183  psrridm  18185  psrass1  18187  psrass23l  18190  psrcom  18191  psrass23  18192  mplsubrglem  18227  mplsubrg  18229  mvrcl  18238  mplmon  18252  mplmonmul  18253  mplcoe1  18254  mplcoe5  18258  mplbas2  18261  psrbagev1  18304  evlslem2  18307  evlslem6  18308  evlslem3  18310  psropprmul  18406  coe1mul2  18437  ply1coeOLD  18465  uvcff  18949  uvcresum  18951  frlmup1  18959  plypf1  22735  tayl0  22883  lincresunit2  33223
  Copyright terms: Public domain W3C validator