MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Unicode version

Theorem suppssfifsupp 7635
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 7533 . . 3  |-  ( ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
3 3ancoma 972 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  <->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W
) )
43biimpi 194 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W ) )
6 funisfsupp 7625 . . 3  |-  ( ( Fun  G  /\  G  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
82, 7mpbird 232 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  G  /\  Z  e.  W )  /\  ( F  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  C_  F
) )  ->  G finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   Fun wfun 5412  (class class class)co 6091   supp csupp 6690   Fincfn 7310   finSupp cfsupp 7620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-om 6477  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-fsupp 7621
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  7636  mptscmfsupp0  17011  psrass1lem  17447  psrlidm  17474  psrridm  17476  psrass1  17478  psrdi  17479  psrdir  17480  psrcom  17481  psrass23  17482  mplsubrglem  17517  mplsubrg  17519  mvrcl  17528  mplmon  17542  mplmonmul  17543  mplcoe1  17544  mplcoe5  17548  mplbas2  17551  psrbagev1  17594  evlslem2  17597  evlslem6  17598  evlslem3  17600  psropprmul  17693  coe1mul2  17723  ply1coeOLD  17747  uvcff  18216  uvcresum  18218  frlmup1  18226  plypf1  21680  tayl0  21827  fsfnn0gsumfsffz  30803  psrass23l  30824  pmatcollpw1lem4  30902  lincresunit2  31012
  Copyright terms: Public domain W3C validator