MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Unicode version

Theorem suppssdm 6916
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 6905 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  { i  e. 
dom  F  |  ( F " { i } )  =/=  { Z } } )
2 ssrab2 3570 . . 3  |-  { i  e.  dom  F  | 
( F " {
i } )  =/= 
{ Z } }  C_ 
dom  F
31, 2syl6eqss 3539 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
4 supp0prc 6906 . . 3  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  (/) )
5 0ss 3800 . . 3  |-  (/)  C_  dom  F
64, 5syl6eqss 3539 . 2  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
73, 6pm2.61i 164 1  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1804    =/= wne 2638   {crab 2797   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   dom cdm 4989   "cima 4992  (class class class)co 6281   supp csupp 6903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-supp 6904
This theorem is referenced by:  snopsuppss  6918  wemapso2lem  7981  cantnfcl  8089  cantnfle  8093  cantnflt  8094  cantnff  8096  cantnfres  8099  cantnfp1lem2  8101  cantnfp1lem3  8102  cantnflem1b  8108  cantnflem1d  8110  cantnflem1  8111  cantnflem3  8113  cnfcomlem  8146  cnfcom  8147  cnfcom2lem  8148  cnfcom3lem  8150  cnfcom3  8151  fsuppmapnn0fiublem  12078  fsuppmapnn0fiub  12079  gsumval3lem1  16888  gsumval3lem2  16889  gsumval3  16890  gsumzres  16893  gsumzcl2  16894  gsumzf1o  16896  gsumzaddlem  16913  gsumconst  16933  gsumzoppg  16946  gsum2d  16978  dpjidcl  17086  psrass1lem  18008  psrass1  18039  psrass23l  18042  psrcom  18043  psrass23  18044  mplcoe1  18106  psropprmul  18258  coe1mul2  18289  gsumfsum  18463  regsumsupp  18636  frlmlbs  18809  tsmsgsum  20615  rrxcph  21802  rrxsuppss  21808  rrxmval  21810  mdegfval  22438  mdegleb  22442  mdegldg  22444  deg1mul3le  22495  wilthlem3  23322
  Copyright terms: Public domain W3C validator