MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Unicode version

Theorem suppssdm 6904
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 6893 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  { i  e. 
dom  F  |  ( F " { i } )  =/=  { Z } } )
2 ssrab2 3578 . . 3  |-  { i  e.  dom  F  | 
( F " {
i } )  =/= 
{ Z } }  C_ 
dom  F
31, 2syl6eqss 3547 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
4 supp0prc 6894 . . 3  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  (/) )
5 0ss 3807 . . 3  |-  (/)  C_  dom  F
64, 5syl6eqss 3547 . 2  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
73, 6pm2.61i 164 1  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   (/)c0 3778   {csn 4020   dom cdm 4992   "cima 4995  (class class class)co 6275   supp csupp 6891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-supp 6892
This theorem is referenced by:  snopsuppss  6906  wemapso2lem  7967  cantnfcl  8075  cantnfle  8079  cantnflt  8080  cantnff  8082  cantnfres  8085  cantnfp1lem2  8087  cantnfp1lem3  8088  cantnflem1b  8094  cantnflem1d  8096  cantnflem1  8097  cantnflem3  8099  cnfcomlem  8132  cnfcom  8133  cnfcom2lem  8134  cnfcom3lem  8136  cnfcom3  8137  fsuppmapnn0fiublem  12052  fsuppmapnn0fiub  12053  gsumval3lem1  16693  gsumval3lem2  16694  gsumval3  16695  gsumzres  16698  gsumzcl2  16699  gsumzf1o  16701  gsumzaddlem  16718  gsumconst  16738  gsumzoppg  16751  gsum2d  16783  dpjidcl  16890  psrass1lem  17793  psrass1  17824  psrdi  17825  psrdir  17826  psrass23l  17827  psrcom  17828  psrass23  17829  mplcoe1  17891  psropprmul  18043  coe1mul2  18074  gsumfsum  18245  regsumsupp  18418  frlmlbs  18591  tsmsgsum  20365  rrxcph  21552  rrxsuppss  21558  rrxmval  21560  mdegfval  22188  mdegleb  22192  mdegldg  22194  deg1mul3le  22245  wilthlem3  23065
  Copyright terms: Public domain W3C validator