MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssdm Structured version   Unicode version

Theorem suppssdm 6703
Description: The support of a function is a subset of the function's domain. (Contributed by AV, 30-May-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssdm  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F

Proof of Theorem suppssdm
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suppval 6692 . . 3  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  { i  e. 
dom  F  |  ( F " { i } )  =/=  { Z } } )
2 ssrab2 3437 . . 3  |-  { i  e.  dom  F  | 
( F " {
i } )  =/= 
{ Z } }  C_ 
dom  F
31, 2syl6eqss 3406 . 2  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
4 supp0prc 6693 . . 3  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  (/) )
5 0ss 3666 . . 3  |-  (/)  C_  dom  F
64, 5syl6eqss 3406 . 2  |-  ( -.  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z ) 
C_  dom  F )
73, 6pm2.61i 164 1  |-  ( F supp 
Z )  C_  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   dom cdm 4840   "cima 4843  (class class class)co 6091   supp csupp 6690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-supp 6691
This theorem is referenced by:  snopsuppss  6705  wemapso2lem  7767  cantnfcl  7875  cantnfle  7879  cantnflt  7880  cantnff  7882  cantnfres  7885  cantnfp1lem2  7887  cantnfp1lem3  7888  cantnflem1b  7894  cantnflem1d  7896  cantnflem1  7897  cantnflem3  7899  cnfcomlem  7932  cnfcom  7933  cnfcom2lem  7934  cnfcom3lem  7936  cnfcom3  7937  gsumval3lem1  16383  gsumval3lem2  16384  gsumval3  16385  gsumzres  16388  gsumzcl2  16389  gsumzf1o  16391  gsumzaddlem  16408  gsumconst  16427  gsumzoppg  16440  gsum2d  16463  dpjidcl  16557  psrass1lem  17447  psrass1  17478  psrdi  17479  psrdir  17480  psrcom  17481  psrass23  17482  mplcoe1  17544  psropprmul  17693  coe1mul2  17723  gsumfsum  17879  regsumsupp  18052  frlmlbs  18225  tsmsgsum  19709  rrxcph  20896  rrxsuppss  20902  rrxmval  20904  mdegfval  21531  mdegleb  21535  mdegldg  21537  deg1mul3le  21588  wilthlem3  22408  fsuppmapnn0fiublem  30798  fsuppmapnn0fiub  30799  psrass23l  30824
  Copyright terms: Public domain W3C validator