MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Structured version   Unicode version

Theorem suppss2 6937
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss2.n  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
suppss2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
Assertion
Ref Expression
suppss2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp  Z
)  C_  W )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k    k, W    k, Z
Allowed substitution hints:    B( k)    V( k)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2 suppss2.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  A  e.  V )
4 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  Z  e.  _V )
51, 3, 4mptsuppdifd 6925 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) supp  Z )  =  { k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z }
) } )
6 eldifsni 4098 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  B  =/=  Z )
7 eldif 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( A  \  W )  <->  ( k  e.  A  /\  -.  k  e.  W ) )
8 suppss2.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  W ) )  ->  B  =  Z )
98adantll 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  k  e.  ( A  \  W
) )  ->  B  =  Z )
107, 9sylan2br 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  (
k  e.  A  /\  -.  k  e.  W
) )  ->  B  =  Z )
1110expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  k  e.  A )  ->  ( -.  k  e.  W  ->  B  =  Z ) )
1211necon1ad 2619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  =/=  Z  ->  k  e.  W ) )
136, 12syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  ( _V  \  { Z } )  ->  k  e.  W
) )
14133impia 1194 . . . . 5  |-  ( ( ( Z  e.  _V  /\ 
ph )  /\  k  e.  A  /\  B  e.  ( _V  \  { Z } ) )  -> 
k  e.  W )
1514rabssdv 3519 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  { k  e.  A  |  B  e.  ( _V  \  { Z } ) }  C_  W )
165, 15eqsstrd 3476 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  ph )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) supp  Z )  C_  W )
1716ex 432 . 2  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp 
Z )  C_  W
) )
18 id 22 . . . . . 6  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  Z  e.  _V )
1918intnand 917 . . . . 5  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  -.  ( ( k  e.  A  |->  B )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
20 supp0prc 6905 . . . . 5  |-  ( -.  ( ( k  e.  A  |->  B )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp  Z )  =  (/) )
2119, 20syl 17 . . . 4  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp  Z )  =  (/) )
22 0ss 3768 . . . 4  |-  (/)  C_  W
2321, 22syl6eqss 3492 . . 3  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp  Z ) 
C_  W )
2423a1d 25 . 2  |-  ( -.  Z  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp 
Z )  C_  W
) )
2517, 24pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) supp  Z
)  C_  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972    |-> cmpt 4453  (class class class)co 6278   supp csupp 6902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-supp 6903
This theorem is referenced by:  suppsssn  6938  fsuppmptif  7893  sniffsupp  7903  cantnflem1d  8139  cantnflem1  8140  gsumzsplit  17268  gsummpt1n0  17313  gsum2dlem1  17318  gsum2dlem2  17319  gsum2d  17320  dprdfid  17377  dprdfinv  17379  dprdfadd  17380  dmdprdsplitlem  17404  dpjidcl  17427  psrbagaddcl  18340  psrlidm  18376  psrridm  18378  mplsubrg  18422  mplmon  18445  mplmonmul  18446  mplcoe1  18447  mplcoe5  18451  mplbas2  18454  evlslem4  18494  evlslem2  18500  evlslem3  18503  evlslem1  18504  coe1tmmul2  18637  coe1tmmul  18638  uvcff  19118  uvcresum  19120  tsmssplit  20946  coe1mul3  22792  plypf1  22901  tayl0  23049  suppss3  27997
  Copyright terms: Public domain W3C validator