Theorem suppsr3 6376

Description: A non-empty, bounded set with at least one positive real has a supremum.

Hypothesis

Ref	Expression
suppsr3.1	|- B = {y | (y e. A /\ 0R <R y)}

Assertion

Ref	Expression
suppsr3	|- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem suppsr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
2		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (y e. A <-> x e. A))
3		breq2 3342	. . . . . . . 8 |- (y = x -> (0R <R y <-> 0R <R x))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (y = x -> ((y e. A /\ 0R <R y) <-> (x e. A /\ 0R <R x)))
5		suppsr3.1	. . . . . . 7 |- B = {y | (y e. A /\ 0R <R y)}
6	1, 4, 5	elab2 2407	. . . . . 6 |- (x e. B <-> (x e. A /\ 0R <R x))
7	6	simprbi 353	. . . . 5 |- (x e. B -> 0R <R x)
8	7	ax-gen 1305	. . . 4 |- A.x(x e. B -> 0R <R x)
9		suppsr2 6375	. . . 4 |- (((A.x(x e. B -> 0R <R x) /\ -. B = (/)) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))))
10	8, 9	mpanl1 770	. . 3 |- ((-. B = (/) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))))
11		neq0 2885	. . . . 5 |- (-. B = (/) <-> E.y y e. B)
12	5	abeq2i 2001	. . . . . 6 |- (y e. B <-> (y e. A /\ 0R <R y))
13	12	exbii 1398	. . . . 5 |- (E.y y e. B <-> E.y(y e. A /\ 0R <R y))
14	11, 13	bitri 190	. . . 4 |- (-. B = (/) <-> E.y(y e. A /\ 0R <R y))
15	14	biimpri 169	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> -. B = (/))
16	12	simplbi 349	. . . . . . . 8 |- (y e. B -> y e. A)
17	16	imim1i 19	. . . . . . 7 |- ((y e. A -> y <R x) -> (y e. B -> y <R x))
18	17	imim2i 11	. . . . . 6 |- ((y e. R. -> (y e. A -> y <R x)) -> (y e. R. -> (y e. B -> y <R x)))
19	18	alimi 1338	. . . . 5 |- (A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)) -> A.y(y e. R. -> (y e. B -> y <R x)))
20	19	anim2i 362	. . . 4 |- ((x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> (x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> y <R x))))
21	20	eximi 1387	. . 3 |- (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> y <R x))))
22	10, 15, 21	syl2an 503	. 2 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))))
23		hbe1 1363	. . . . . . . . 9 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> A.yE.y(y e. A /\ 0R <R y))
24		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (x e. R. -> A.y x e. R.)
25	23, 24	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) -> A.y(E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.))
26		hba1 1350	. . . . . . . 8 |- (A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) -> A.yA.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))))
27	25, 26	hban 1356	. . . . . . 7 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> A.y((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))))
28	12	imbi1i 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. B -> -. x <R y) <-> ((y e. A /\ 0R <R y) -> -. x <R y))
29		impexp 374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y e. A /\ 0R <R y) -> -. x <R y) <-> (y e. A -> (0R <R y -> -. x <R y)))
30	28, 29	bitri 190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. B -> -. x <R y) <-> (y e. A -> (0R <R y -> -. x <R y)))
31		pm2.04 34	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. A -> (0R <R y -> -. x <R y)) -> (0R <R y -> (y e. A -> -. x <R y)))
32	30, 31	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. B -> -. x <R y) -> (0R <R y -> (y e. A -> -. x <R y)))
33	32	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> (y e. R. -> (0R <R y -> (y e. A -> -. x <R y))))
34	33	com23 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> (0R <R y -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y))))
35	34	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> (0R <R y -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y))))
36	35	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y))) -> (0R <R y -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y))))
37		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> A.yA.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)))
38		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (0R <R x -> A.y0R <R x)
39	37, 38	hbim 1354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x) -> A.y(A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x))
40	24, 39	hbim 1354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. R. -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x)) -> A.y(x e. R. -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x)))
41		ltsosr 6355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- <R Or R.
42		sotric 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (( <R Or R. /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> (x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)))
43	41, 42	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x <R y <-> -. (x = y \/ y <R x)))
44	43	con2bid 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((x = y \/ y <R x) <-> -. x <R y))
45		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- y e. _V
46		ltrelsr 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- <R C_ (R. X. R.)
47	45, 46	brel 4048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (0R <R y -> (0R e. R. /\ y e. R.))
48	47	simprd 352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (0R <R y -> y e. R.)
49	44, 48	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((x e. R. /\ 0R <R y) -> ((x = y \/ y <R x) <-> -. x <R y))
50		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (x = y -> (0R <R x <-> 0R <R y))
51	50	biimprcd 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (0R <R y -> (x = y -> 0R <R x))
52		0r 6341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 0R e. R.
53	52	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0R e. _V
54	53, 41, 46, 45, 1	sotri 4315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((0R <R y /\ y <R x) -> 0R <R x)
55	54	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (0R <R y -> (y <R x -> 0R <R x))
56	51, 55	jaod 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (0R <R y -> ((x = y \/ y <R x) -> 0R <R x))
57	56	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((x e. R. /\ 0R <R y) -> ((x = y \/ y <R x) -> 0R <R x))
58	49, 57	sylbird 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((x e. R. /\ 0R <R y) -> (-. x <R y -> 0R <R x))
59	58	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x e. R. -> (0R <R y -> (-. x <R y -> 0R <R x)))
60	59	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x e. R. -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> (-. x <R y -> 0R <R x)))
61	60	a2d 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. R. -> (((y e. A /\ 0R <R y) -> -. x <R y) -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
62	61, 28	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
63	62	imim2d 28	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. R. -> ((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> (y e. R. -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x))))
64	48	imim1i 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. R. -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)) -> (0R <R y -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
65		anabs7 552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((0R <R y /\ (y e. A /\ 0R <R y)) <-> (y e. A /\ 0R <R y))
66	65	imbi1i 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((0R <R y /\ (y e. A /\ 0R <R y)) -> 0R <R x) <-> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x))
67		impexp 374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((0R <R y /\ (y e. A /\ 0R <R y)) -> 0R <R x) <-> (0R <R y -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
68	66, 67	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x) <-> (0R <R y -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
69	64, 68	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. R. -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)) -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x))
70	63, 69	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x e. R. -> ((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
71	70	a4sd 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. R. -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> ((y e. A /\ 0R <R y) -> 0R <R x)))
72	71	com3r 39	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. A /\ 0R <R y) -> (x e. R. -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x)))
73	40, 72	19.23ai 1412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> (x e. R. -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> 0R <R x)))
74	73	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y))) -> 0R <R x)
75	53, 41, 46, 1, 45	sotri 4315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((0R <R x /\ x <R y) -> 0R <R y)
76	75	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (0R <R x -> (x <R y -> 0R <R y))
77	76	con3d 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (0R <R x -> (-. 0R <R y -> -. x <R y))
78	74, 77	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y))) -> (-. 0R <R y -> -. x <R y))
79		ax-1 4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. x <R y -> (y e. A -> -. x <R y))
80	79	a1d 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. x <R y -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y)))
81	78, 80	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y))) -> (-. 0R <R y -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y))))
82	36, 81	pm2.61d 141	. . . . . . . . . . 11 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y))) -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y)))
83	82	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) -> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) -> (y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y))))
84		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. _V
85		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = z -> (y e. A <-> z e. A))
86		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = z -> (0R <R y <-> 0R <R z))
87	85, 86	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = z -> ((y e. A /\ 0R <R y) <-> (z e. A /\ 0R <R z)))
88	84, 87, 5	elab2 2407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. B <-> (z e. A /\ 0R <R z))
89	88	simplbi 349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. B -> z e. A)
90	89	anim1i 361	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. B /\ y <R z) -> (z e. A /\ y <R z))
91	90	anim2i 362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)) -> (z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))
92	91	eximi 1387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)) -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))
93	92	imim2i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))) -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))
94	93	imim2i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))) -> (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))
95	94	a4s 1330	. . . . . . . . . . 11 |- (A.y(y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))) -> (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))
96	95	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) -> (A.y(y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))) -> (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))
97	83, 96	anim12d 617	. . . . . . . . 9 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) -> ((A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) -> ((y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))
98		jcab 659	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) <-> ((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))))
99	98	albii 1346	. . . . . . . . . 10 |- (A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) <-> A.y((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))))
100		19.26 1416	. . . . . . . . . 10 |- (A.y((y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) <-> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))))
101	99, 100	bitri 190	. . . . . . . . 9 |- (A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) <-> (A.y(y e. R. -> (y e. B -> -. x <R y)) /\ A.y(y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))))
102		jcab 659	. . . . . . . . 9 |- ((y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))) <-> ((y e. R. -> (y e. A -> -. x <R y)) /\ (y e. R. -> (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))
103	97, 101, 102	3imtr4g 612	. . . . . . . 8 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) -> (A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) -> (y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))
104	103	imp 377	. . . . . . 7 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> (y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))
105	27, 104	19.21ai 1345	. . . . . 6 |- (((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ x e. R.) /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))
106	105	exp31 407	. . . . 5 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> (x e. R. -> (A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z))))) -> A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))
107	106	imdistand 493	. . . 4 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> ((x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> (x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))
108	107	eximdv 1669	. . 3 |- (E.y(y e. A /\ 0R <R y) -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))
109	108	adantr 425	. 2 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> (E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. B -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. B /\ y <R z)))))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z))))))))
110	22, 109	mpd 29	1 |- ((E.y(y e. A /\ 0R <R y) /\ E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> (y e. A -> y <R x)))) -> E.x(x e. R. /\ A.y(y e. R. -> ((y e. A -> -. x <R y) /\ (y <R x -> E.z(z e. R. /\ (z e. A /\ y <R z)))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  (/)c0 2875   class class class wbr 3338   Or wor 3590  R.cnr 6145  0Rc0r 6146   <R cltr 6151

This theorem is referenced by:  supsrlem6 6382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323

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