Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppfnss Structured version   Unicode version

Theorem suppfnss 6952
 Description: The support of a function which has the same zero values (in its domain) as another function is a subset of the support of this other function. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppfnss supp supp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem suppfnss
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5693 . . . . . . . . . . 11
21eleq2d 2492 . . . . . . . . . 10
32ad2antrr 730 . . . . . . . . 9
4 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
54eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11
6 fveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
76eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11
85, 7imbi12d 321 . . . . . . . . . 10
98rspcv 3178 . . . . . . . . 9
103, 9syl6bi 231 . . . . . . . 8
1110com23 81 . . . . . . 7
1211imp31 433 . . . . . 6
1312necon3d 2644 . . . . 5
1413ss2rabdv 3542 . . . 4
15 simpr1 1011 . . . . . . 7
161ad2antrr 730 . . . . . . 7
17 fndm 5693 . . . . . . . 8
1817ad2antlr 731 . . . . . . 7
1915, 16, 183sstr4d 3507 . . . . . 6
2019adantr 466 . . . . 5
21 rabss2 3544 . . . . 5
2220, 21syl 17 . . . 4
2314, 22sstrd 3474 . . 3
24 fnfun 5691 . . . . . . 7
2524ad2antrr 730 . . . . . 6
26 simpl 458 . . . . . . 7
27 ssexg 4570 . . . . . . . 8
28273adant3 1025 . . . . . . 7
29 fnex 6148 . . . . . . 7
3026, 28, 29syl2an 479 . . . . . 6
31 simpr3 1013 . . . . . 6
32 suppval1 6932 . . . . . 6 supp
3325, 30, 31, 32syl3anc 1264 . . . . 5 supp
34 fnfun 5691 . . . . . . 7
3534ad2antlr 731 . . . . . 6
36 simpr 462 . . . . . . 7
37 simp2 1006 . . . . . . 7
38 fnex 6148 . . . . . . 7
3936, 37, 38syl2an 479 . . . . . 6
40 suppval1 6932 . . . . . 6 supp
4135, 39, 31, 40syl3anc 1264 . . . . 5 supp
4233, 41sseq12d 3493 . . . 4 supp supp
4342adantr 466 . . 3 supp supp
4423, 43mpbird 235 . 2 supp supp
4544ex 435 1 supp supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  crab 2775  cvv 3080   wss 3436   cdm 4853   wfun 5595   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6306   supp csupp 6926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-un 6598 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-supp 6927 This theorem is referenced by:  funsssuppss  6953  suppofss1d  6964  suppofss2d  6965  lincresunit2  39922
 Copyright terms: Public domain W3C validator