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Theorem supmullem1 10509
Description: Lemma for supmul 10511. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmullem1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, w, z    B, b, v, x, y, w, z    x, C, w    ph, b, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . 4  |-  w  e. 
_V
2 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
32eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
43rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
54cbvrexv 3089 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
6 eqeq1 2471 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
762rexbidv 2980 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
85, 7syl5bb 257 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
9 supmul.1 . . . 4  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
101, 8, 9elab2 3253 . . 3  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
1211simp2bi 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1312simp1d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1514adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
16 suprcl 10503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1911simp3bi 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
2019simp1d 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2120sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
2221adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
23 suprcl 10503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
26 simp1l 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
2711, 26sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
28 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
2928rspccv 3211 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
3130imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
3231adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  a )
33 simp1r 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
3411, 33sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
35 breq2 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
3635rspccv 3211 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
3837imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
3938adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  b )
40 suprub 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4112, 40sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4241adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
43 suprub 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4419, 43sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4544adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 10488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
48 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( a  x.  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
4948biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5047, 49syl6 33 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
5150rexlimdvv 2961 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5210, 51syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5352ralrimiv 2876 1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   supcsup 7900   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  supmullem2  10510  supmul  10511
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