Theorem supmullem1 10577

Description: Lemma for supmul 10579. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
supmul.2	|- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	|- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Distinct variable groups:   A, b, v, x, y, w, z   B, b, v, x, y, w, z   x, C, w   ph, b, w, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, v)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3090	. . . 4 |- w e. _V
2		oveq1 6312	. . . . . . . 8 |- ( v = a -> ( v x. b ) = ( a x. b ) )
3	2	eqeq2d 2443	. . . . . . 7 |- ( v = a -> ( z = ( v x. b ) <-> z = ( a x. b ) ) )
4	3	rexbidv 2946	. . . . . 6 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. b e. B z = ( a x. b ) ) )
5	4	cbvrexv 3063	. . . . 5 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) )
6		eqeq1 2433	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( z = ( a x. b ) <-> w = ( a x. b ) ) )
7	6	2rexbidv 2953	. . . . 5 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
8	5, 7	syl5bb 260	. . . 4 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
9		supmul.1	. . . 4 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
10	1, 8, 9	elab2 3227	. . 3 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
12	11	simp2bi 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
13	12	simp1d 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
15	14	adantrr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a e. RR )
16		suprcl 10569	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18	17	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
19	11	simp3bi 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
20	19	simp1d 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ RR )
21	20	sselda 3470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
22	21	adantrl 720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b e. RR )
23		suprcl 10569	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
25	24	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
26		simp1l 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. A 0 <_ x )
27	11, 26	sylbi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A 0 <_ x )
28		breq2 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ a ) )
29	28	rspccv 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A 0 <_ x -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
31	30	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 0 <_ a )
32	31	adantrr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ a )
33		simp1r 1030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. B 0 <_ x )
34	11, 33	sylbi 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. B 0 <_ x )
35		breq2 4430	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ b ) )
36	35	rspccv 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B 0 <_ x -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
38	37	imp 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ b )
39	38	adantrl 720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ b )
40		suprub 10570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
41	12, 40	sylan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
42	41	adantrr 721	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
43		suprub 10570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
44	19, 43	sylan 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
45	44	adantrl 720	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 10549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
47	46	ex 435	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
48		breq1 4429	. . . . . 6 |- ( w = ( a x. b ) -> ( w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
49	48	biimprcd 228	. . . . 5 |- ( ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
50	47, 49	syl6 34	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
51	50	rexlimdvv 2930	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
52	10, 51	syl5bi 220	. 2 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
53	52	ralrimiv 2844	1 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   {cab 2414   =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   x. cmul 9543   < clt 9674   <_ cle 9675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862

This theorem is referenced by:  supmullem2  10578  supmul  10579