Theorem supmullem1 10577

Description: Lemma for supmul 10579. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
supmul.2	|- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	|- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Distinct variable groups:   A, b, v, x, y, w, z   B, b, v, x, y, w, z   x, C, w   ph, b, w, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, v)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3048	. . . 4 |- w e. _V
2		oveq1 6297	. . . . . . . 8 |- ( v = a -> ( v x. b ) = ( a x. b ) )
3	2	eqeq2d 2461	. . . . . . 7 |- ( v = a -> ( z = ( v x. b ) <-> z = ( a x. b ) ) )
4	3	rexbidv 2901	. . . . . 6 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. b e. B z = ( a x. b ) ) )
5	4	cbvrexv 3020	. . . . 5 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) )
6		eqeq1 2455	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( z = ( a x. b ) <-> w = ( a x. b ) ) )
7	6	2rexbidv 2908	. . . . 5 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
8	5, 7	syl5bb 261	. . . 4 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
9		supmul.1	. . . 4 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
10	1, 8, 9	elab2 3188	. . 3 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
12	11	simp2bi 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
13	12	simp1d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
15	14	adantrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a e. RR )
16		suprcl 10569	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18	17	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
19	11	simp3bi 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
20	19	simp1d 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ RR )
21	20	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
22	21	adantrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b e. RR )
23		suprcl 10569	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
25	24	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
26		simp1l 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. A 0 <_ x )
27	11, 26	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A 0 <_ x )
28		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ a ) )
29	28	rspccv 3147	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A 0 <_ x -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
31	30	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 0 <_ a )
32	31	adantrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ a )
33		simp1r 1033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. B 0 <_ x )
34	11, 33	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. B 0 <_ x )
35		breq2 4406	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ b ) )
36	35	rspccv 3147	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B 0 <_ x -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
38	37	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ b )
39	38	adantrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ b )
40		suprub 10570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
41	12, 40	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
42	41	adantrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
43		suprub 10570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
44	19, 43	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
45	44	adantrl 722	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 10549	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
47	46	ex 436	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
48		breq1 4405	. . . . . 6 |- ( w = ( a x. b ) -> ( w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
49	48	biimprcd 229	. . . . 5 |- ( ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
50	47, 49	syl6 34	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
51	50	rexlimdvv 2885	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
52	10, 51	syl5bi 221	. 2 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
53	52	ralrimiv 2800	1 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863

This theorem is referenced by:  supmullem2  10578  supmul  10579