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Theorem supmullem1 10577
Description: Lemma for supmul 10579. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmullem1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, w, z    B, b, v, x, y, w, z    x, C, w    ph, b, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3090 . . . 4  |-  w  e. 
_V
2 oveq1 6312 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
32eqeq2d 2443 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
43rexbidv 2946 . . . . . 6  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
54cbvrexv 3063 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
6 eqeq1 2433 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
762rexbidv 2953 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
85, 7syl5bb 260 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
9 supmul.1 . . . 4  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
101, 8, 9elab2 3227 . . 3  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
1211simp2bi 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1312simp1d 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1514adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
16 suprcl 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1817adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1911simp3bi 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
2019simp1d 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2120sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
2221adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
23 suprcl 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2524adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
26 simp1l 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
2711, 26sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
28 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
2928rspccv 3185 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
3027, 29syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
3130imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
3231adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  a )
33 simp1r 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
3411, 33sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
35 breq2 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
3635rspccv 3185 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
3837imp 430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
3938adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  b )
40 suprub 10570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4112, 40sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4241adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
43 suprub 10570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4419, 43sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4544adantrl 720 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 10549 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4746ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
48 breq1 4429 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( a  x.  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
4948biimprcd 228 . . . . 5  |-  ( ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5047, 49syl6 34 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
5150rexlimdvv 2930 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5210, 51syl5bi 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5352ralrimiv 2844 1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  supmullem2  10578  supmul  10579
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