Theorem supmullem1 10509

Description: Lemma for supmul 10511. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
supmul.2	|- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	|- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Distinct variable groups:   A, b, v, x, y, w, z   B, b, v, x, y, w, z   x, C, w   ph, b, w, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, v)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3116	. . . 4 |- w e. _V
2		oveq1 6291	. . . . . . . 8 |- ( v = a -> ( v x. b ) = ( a x. b ) )
3	2	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( v = a -> ( z = ( v x. b ) <-> z = ( a x. b ) ) )
4	3	rexbidv 2973	. . . . . 6 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. b e. B z = ( a x. b ) ) )
5	4	cbvrexv 3089	. . . . 5 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) )
6		eqeq1 2471	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( z = ( a x. b ) <-> w = ( a x. b ) ) )
7	6	2rexbidv 2980	. . . . 5 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
8	5, 7	syl5bb 257	. . . 4 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
9		supmul.1	. . . 4 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
10	1, 8, 9	elab2 3253	. . 3 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
12	11	simp2bi 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
13	12	simp1d 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
15	14	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a e. RR )
16		suprcl 10503	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	12, 16	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18	17	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
19	11	simp3bi 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
20	19	simp1d 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ RR )
21	20	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
22	21	adantrl 715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b e. RR )
23		suprcl 10503	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
24	19, 23	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
25	24	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
26		simp1l 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. A 0 <_ x )
27	11, 26	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A 0 <_ x )
28		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ a ) )
29	28	rspccv 3211	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A 0 <_ x -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
30	27, 29	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
31	30	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 0 <_ a )
32	31	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ a )
33		simp1r 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. B 0 <_ x )
34	11, 33	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. B 0 <_ x )
35		breq2 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ b ) )
36	35	rspccv 3211	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B 0 <_ x -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
37	34, 36	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
38	37	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ b )
39	38	adantrl 715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ b )
40		suprub 10504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
41	12, 40	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
42	41	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
43		suprub 10504	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
44	19, 43	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
45	44	adantrl 715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 10488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
47	46	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
48		breq1 4450	. . . . . 6 |- ( w = ( a x. b ) -> ( w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
49	48	biimprcd 225	. . . . 5 |- ( ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
50	47, 49	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
51	50	rexlimdvv 2961	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
52	10, 51	syl5bi 217	. 2 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
53	52	ralrimiv 2876	1 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6284   supcsup 7900   RRcr 9491   0cc0 9492   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808

This theorem is referenced by:  supmullem2  10510  supmul  10511