Theorem supmullem1 10599

Description: Lemma for supmul 10601. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmul.1	|- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
supmul.2	|- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supmullem1	|- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Distinct variable groups:   A, b, v, x, y, w, z   B, b, v, x, y, w, z   x, C, w   ph, b, w, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, v)   C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3034	. . . 4 |- w e. _V
2		oveq1 6315	. . . . . . . 8 |- ( v = a -> ( v x. b ) = ( a x. b ) )
3	2	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( v = a -> ( z = ( v x. b ) <-> z = ( a x. b ) ) )
4	3	rexbidv 2892	. . . . . 6 |- ( v = a -> ( E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. b e. B z = ( a x. b ) ) )
5	4	cbvrexv 3006	. . . . 5 |- ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) )
6		eqeq1 2475	. . . . . 6 |- ( z = w -> ( z = ( a x. b ) <-> w = ( a x. b ) ) )
7	6	2rexbidv 2897	. . . . 5 |- ( z = w -> ( E. a e. A E. b e. B z = ( a x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
8	5, 7	syl5bb 265	. . . 4 |- ( z = w -> ( E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) ) )
9		supmul.1	. . . 4 |- C = { z | E. v e. A E. b e. B z = ( v x. b ) }
10	1, 8, 9	elab2 3176	. . 3 |- ( w e. C <-> E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) )
11		supmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) )
12	11	simp2bi 1046	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
13	12	simp1d 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ RR )
14	13	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. RR )
15	14	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a e. RR )
16		suprcl 10591	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18	17	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
19	11	simp3bi 1047	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) )
20	19	simp1d 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B C_ RR )
21	20	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b e. RR )
22	21	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b e. RR )
23		suprcl 10591	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
25	24	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> sup ( B , RR , < ) e. RR )
26		simp1l 1054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. A 0 <_ x )
27	11, 26	sylbi 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. A 0 <_ x )
28		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = a -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ a ) )
29	28	rspccv 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A 0 <_ x -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a e. A -> 0 <_ a ) )
31	30	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> 0 <_ a )
32	31	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ a )
33		simp1r 1055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A 0 <_ x /\ A. x e. B 0 <_ x ) /\ ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) ) -> A. x e. B 0 <_ x )
34	11, 33	sylbi 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. B 0 <_ x )
35		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ b ) )
36	35	rspccv 3133	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B 0 <_ x -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( b e. B -> 0 <_ b ) )
38	37	imp 436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> 0 <_ b )
39	38	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> 0 <_ b )
40		suprub 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
41	12, 40	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
42	41	adantrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> a <_ sup ( A , RR , < ) )
43		suprub 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ RR /\ B =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. B y <_ x ) /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
44	19, 43	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ b e. B ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
45	44	adantrl 730	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> b <_ sup ( B , RR , < ) )
46	15, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45	lemul12ad 10571	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. A /\ b e. B ) ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )
47	46	ex 441	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
48		breq1 4398	. . . . . 6 |- ( w = ( a x. b ) -> ( w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) <-> ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
49	48	biimprcd 233	. . . . 5 |- ( ( a x. b ) <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
50	47, 49	syl6 33	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a e. A /\ b e. B ) -> ( w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) ) )
51	50	rexlimdvv 2877	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. A E. b e. B w = ( a x. b ) -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
52	10, 51	syl5bi 225	. 2 |- ( ph -> ( w e. C -> w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) ) )
53	52	ralrimiv 2808	1 |- ( ph -> A. w e. C w <_ ( sup ( A , RR , < ) x. sup ( B , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883

This theorem is referenced by:  supmullem2  10600  supmul  10601