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Theorem supmullem1 10301
Description: Lemma for supmul 10303. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmullem1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, w, z    B, b, v, x, y, w, z    x, C, w    ph, b, w, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmullem1
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2980 . . . 4  |-  w  e. 
_V
2 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
32eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
43rexbidv 2741 . . . . . 6  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
54cbvrexv 2953 . . . . 5  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
6 eqeq1 2449 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
762rexbidv 2763 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
85, 7syl5bb 257 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
9 supmul.1 . . . 4  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
101, 8, 9elab2 3114 . . 3  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
1211simp2bi 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1312simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
1413sselda 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1514adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
16 suprcl 10295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1911simp3bi 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
2019simp1d 1000 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2120sselda 3361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
2221adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
23 suprcl 10295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2419, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2524adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
26 simp1l 1012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
2711, 26sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
28 breq2 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
2928rspccv 3075 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
3027, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
3130imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
3231adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  a )
33 simp1r 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
3411, 33sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
35 breq2 4301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
3635rspccv 3075 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
3837imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
3938adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
0  <_  b )
40 suprub 10296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4112, 40sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4241adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
43 suprub 10296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4419, 43sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4544adantrl 715 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
4615, 18, 22, 25, 32, 39, 42, 45lemul12ad 10280 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  x.  b
)  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4746ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
48 breq1 4300 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( a  x.  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
4948biimprcd 225 . . . . 5  |-  ( ( a  x.  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5047, 49syl6 33 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
5150rexlimdvv 2852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5210, 51syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
5352ralrimiv 2803 1  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603
This theorem is referenced by:  supmullem2  10302  supmul  10303
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