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Theorem supmul1 10576
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that , where is shorthand for and is defined as below. This is the simple version, with only one set argument; see supmul 10579 for the more general case with two set arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul1.1
supmul1.2
Assertion
Ref Expression
supmul1
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem supmul1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3048 . . . . . . . 8
2 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
32eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10
43cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9
5 eqeq1 2455 . . . . . . . . . 10
65rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
74, 6syl5bb 261 . . . . . . . 8
8 supmul1.1 . . . . . . . 8
91, 7, 8elab2 3188 . . . . . . 7
10 supmul1.2 . . . . . . . . . . . . 13
11 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
1210, 11sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12
1312simp1d 1020 . . . . . . . . . . 11
1413sselda 3432 . . . . . . . . . 10
15 suprcl 10569 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11
1716adantr 467 . . . . . . . . . 10
18 simpl1 1011 . . . . . . . . . . . . 13
1910, 18sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12
20 simpl2 1012 . . . . . . . . . . . . 13
2110, 20sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12
2219, 21jca 535 . . . . . . . . . . 11
2322adantr 467 . . . . . . . . . 10
24 suprub 10570 . . . . . . . . . . 11
2512, 24sylan 474 . . . . . . . . . 10
26 lemul2a 10460 . . . . . . . . . 10
2714, 17, 23, 25, 26syl31anc 1271 . . . . . . . . 9
28 breq1 4405 . . . . . . . . 9
2927, 28syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8
3029rexlimdva 2879 . . . . . . 7
319, 30syl5bi 221 . . . . . 6
3231ralrimiv 2800 . . . . 5
3319adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
3433, 14remulcld 9671 . . . . . . . . . . 11
35 eleq1a 2524 . . . . . . . . . . 11
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10
3736rexlimdva 2879 . . . . . . . . 9
389, 37syl5bi 221 . . . . . . . 8
3938ssrdv 3438 . . . . . . 7
40 simpr2 1015 . . . . . . . . . 10
4110, 40sylbi 199 . . . . . . . . 9
42 ovex 6318 . . . . . . . . . . 11
4342isseti 3051 . . . . . . . . . 10
4443rgenw 2749 . . . . . . . . 9
45 r19.2z 3858 . . . . . . . . 9
4641, 44, 45sylancl 668 . . . . . . . 8
479exbii 1718 . . . . . . . . 9
48 n0 3741 . . . . . . . . 9
49 rexcom4 3067 . . . . . . . . 9
5047, 48, 493bitr4i 281 . . . . . . . 8
5146, 50sylibr 216 . . . . . . 7
5219, 16remulcld 9671 . . . . . . . 8
53 breq2 4406 . . . . . . . . . 10
5453ralbidv 2827 . . . . . . . . 9
5554rspcev 3150 . . . . . . . 8
5652, 32, 55syl2anc 667 . . . . . . 7
5739, 51, 563jca 1188 . . . . . 6
58 suprleub 10573 . . . . . 6
5957, 52, 58syl2anc 667 . . . . 5
6032, 59mpbird 236 . . . 4
61 simpr 463 . . . . . . 7
62 suprcl 10569 . . . . . . . . . 10
6357, 62syl 17 . . . . . . . . 9
6463adantr 467 . . . . . . . 8
6516adantr 467 . . . . . . . 8
6619adantr 467 . . . . . . . 8
67 n0 3741 . . . . . . . . . . . 12
68 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 simpl3 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7010, 69sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7271rspccva 3149 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7370, 72sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . 15
7468, 14, 17, 73, 25letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14
7574ex 436 . . . . . . . . . . . . 13
7675exlimdv 1779 . . . . . . . . . . . 12
7767, 76syl5bi 221 . . . . . . . . . . 11
7841, 77mpd 15 . . . . . . . . . 10
7978adantr 467 . . . . . . . . 9
80 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8138imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8263adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8321adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8433, 14, 83, 73mulge0d 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8684, 85syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
889, 87syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 suprub 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9157, 90sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9280, 81, 82, 89, 91letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14
9493exlimdv 1779 . . . . . . . . . . . . 13
9548, 94syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12
9651, 95mpd 15 . . . . . . . . . . 11
9796anim1i 572 . . . . . . . . . 10
98 0red 9644 . . . . . . . . . . . 12
99 lelttr 9724 . . . . . . . . . . . 12
10098, 63, 52, 99syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
101100adantr 467 . . . . . . . . . 10
10297, 101mpd 15 . . . . . . . . 9
103 prodgt02 10451 . . . . . . . . 9
10466, 65, 79, 102, 103syl22anc 1269 . . . . . . . 8
105 ltdivmul 10480 . . . . . . . 8
10664, 65, 66, 104, 105syl112anc 1272 . . . . . . 7
10761, 106mpbird 236 . . . . . 6
10812adantr 467 . . . . . . 7
109104gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8
11064, 66, 109redivcld 10435 . . . . . . 7
111 suprlub 10571 . . . . . . 7
112108, 110, 111syl2anc 667 . . . . . 6
113107, 112mpbid 214 . . . . 5
114 rspe 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114, 9sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14
116115adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13
117 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . 14
11891adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14
119117, 118eqbrtrrd 4425 . . . . . . . . . . . . 13
120116, 119mpdan 674 . . . . . . . . . . . 12
121120expr 620 . . . . . . . . . . 11
122121exlimdv 1779 . . . . . . . . . 10
12343, 122mpi 20 . . . . . . . . 9
124123adantlr 721 . . . . . . . 8
12534adantlr 721 . . . . . . . . 9
12663ad2antrr 732 . . . . . . . . 9
127125, 126lenltd 9781 . . . . . . . 8
128124, 127mpbid 214 . . . . . . 7
12914adantlr 721 . . . . . . . 8
13019ad2antrr 732 . . . . . . . 8
131104adantr 467 . . . . . . . 8
132 ltdivmul 10480 . . . . . . . 8
133126, 129, 130, 131, 132syl112anc 1272 . . . . . . 7
134128, 133mtbird 303 . . . . . 6
135134nrexdv 2843 . . . . 5
136113, 135pm2.65da 580 . . . 4
13760, 136jca 535 . . 3
13863, 52eqleltd 9779 . . 3
139137, 138mpbird 236 . 2
140139eqcomd 2457 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  cab 2437   wne 2622  wral 2737  wrex 2738   wss 3404  c0 3731   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290  csup 7954  cr 9538  cc0 9539   cmul 9544   clt 9675   cle 9676   cdiv 10269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270 This theorem is referenced by:  supmul  10579  hoidmvlelem1  38417
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