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Theorem supmul 10601
 Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that , where is shorthand for and is defined as below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9427). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1
supmul.2
Assertion
Ref Expression
supmul
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7
21simp2bi 1046 . . . . . 6
3 suprcl 10591 . . . . . 6
42, 3syl 17 . . . . 5
51simp3bi 1047 . . . . . 6
6 suprcl 10591 . . . . . 6
75, 6syl 17 . . . . 5
8 recn 9647 . . . . . 6
9 recn 9647 . . . . . 6
10 mulcom 9643 . . . . . 6
118, 9, 10syl2an 485 . . . . 5
124, 7, 11syl2anc 673 . . . 4
135simp2d 1043 . . . . . . 7
14 n0 3732 . . . . . . 7
1513, 14sylib 201 . . . . . 6
16 0red 9662 . . . . . . 7
175simp1d 1042 . . . . . . . 8
1817sselda 3418 . . . . . . 7
197adantr 472 . . . . . . 7
20 simp1r 1055 . . . . . . . . . 10
211, 20sylbi 200 . . . . . . . . 9
22 breq2 4399 . . . . . . . . . 10
2322rspccv 3133 . . . . . . . . 9
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8
2524imp 436 . . . . . . 7
26 suprub 10592 . . . . . . . 8
275, 26sylan 479 . . . . . . 7
2816, 18, 19, 25, 27letrd 9809 . . . . . 6
2915, 28exlimddv 1789 . . . . 5
30 simp1l 1054 . . . . . 6
311, 30sylbi 200 . . . . 5
32 eqid 2471 . . . . . 6
33 biid 244 . . . . . 6
3432, 33supmul1 10598 . . . . 5
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1295 . . . 4
3612, 35eqtrd 2505 . . 3
37 vex 3034 . . . . . . 7
38 eqeq1 2475 . . . . . . . 8
3938rexbidv 2892 . . . . . . 7
4037, 39elab 3173 . . . . . 6
417adantr 472 . . . . . . . . . 10
422simp1d 1042 . . . . . . . . . . 11
4342sselda 3418 . . . . . . . . . 10
44 recn 9647 . . . . . . . . . . 11
45 mulcom 9643 . . . . . . . . . . 11
469, 44, 45syl2an 485 . . . . . . . . . 10
4741, 43, 46syl2anc 673 . . . . . . . . 9
48 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . 14
4948rspccv 3133 . . . . . . . . . . . . 13
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5150imp 436 . . . . . . . . . . 11
5221adantr 472 . . . . . . . . . . 11
535adantr 472 . . . . . . . . . . 11
54 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
55 biid 244 . . . . . . . . . . . 12
5654, 55supmul1 10598 . . . . . . . . . . 11
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1295 . . . . . . . . . 10
58 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14
6037, 59elab 3173 . . . . . . . . . . . . 13
61 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16
62 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6362eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6463rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6564cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66582rexbidv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6765, 66syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6937, 67, 68elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7061, 69sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14
7268, 1supmullem2 10600 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 suprub 10592 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7473ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7671, 75sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . 13
7760, 76syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12
7877ralrimiv 2808 . . . . . . . . . . 11
7943adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8018adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 eleq1a 2544 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
8483rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
8584abssdv 3489 . . . . . . . . . . . 12
86 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8786isseti 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8887rgenw 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
89 r19.2z 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9013, 88, 89sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 rexcom4 3053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
9359cbvexv 2130 . . . . . . . . . . . . . . 15
9492, 93sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14
95 abn0 3754 . . . . . . . . . . . . . 14
9694, 95sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
98 suprcl 10591 . . . . . . . . . . . . . . 15
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
101 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . 14
103102rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13
104100, 78, 103syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
105 suprleub 10595 . . . . . . . . . . . 12
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11
10778, 106mpbird 240 . . . . . . . . . 10
10857, 107eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9
10947, 108eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8
110 breq1 4398 . . . . . . . 8
111109, 110syl5ibrcom 230 . . . . . . 7
112111rexlimdva 2871 . . . . . 6
11340, 112syl5bi 225 . . . . 5
114113ralrimiv 2808 . . . 4
11541, 43remulcld 9689 . . . . . . . 8
116 eleq1a 2544 . . . . . . . 8
117115, 116syl 17 . . . . . . 7
118117rexlimdva 2871 . . . . . 6
119118abssdv 3489 . . . . 5
1202simp2d 1043 . . . . . . . 8
121 ovex 6336 . . . . . . . . . 10
122121isseti 3037 . . . . . . . . 9
123122rgenw 2768 . . . . . . . 8
124 r19.2z 3849 . . . . . . . 8
125120, 123, 124sylancl 675 . . . . . . 7
126 rexcom4 3053 . . . . . . 7
127125, 126sylib 201 . . . . . 6
128 abn0 3754 . . . . . 6
129127, 128sylibr 217 . . . . 5
130101ralbidv 2829 . . . . . . 7
131130rspcev 3136 . . . . . 6
13299, 114, 131syl2anc 673 . . . . 5
133 suprleub 10595 . . . . 5
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1295 . . . 4
135114, 134mpbird 240 . . 3
13636, 135eqbrtrd 4416 . 2
13768, 1supmullem1 10599 . . 3
1384, 7remulcld 9689 . . . 4
139 suprleub 10595 . . . 4
14072, 138, 139syl2anc 673 . . 3
141137, 140mpbird 240 . 2
142138, 99letri3d 9794 . 2
143136, 141, 142mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  cab 2457   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   cmul 9562   clt 9693   cle 9694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292 This theorem is referenced by:  sqrlem5  13387
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