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Theorem supmul 10576
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that  ( sup A
)  x.  ( sup B )  =  sup ( A  x.  B
), where  A  x.  B is shorthand for  { a  x.  b  |  a  e.  A ,  b  e.  B } and is defined as  C below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9406). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
supmul.2  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
supmul  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    A, b,
v, x, y, z    B, b, v, x, y, z    x, C    ph, b,
z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, v)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables  a  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  <->  ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
21simp2bi 1023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
3 suprcl 10566 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
51simp3bi 1024 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
6 suprcl 10566 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
75, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8 recn 9626 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  CC )
9 recn 9626 . . . . . 6  |-  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  CC )
10 mulcom 9622 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  CC  /\  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  CC )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x. 
sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
118, 9, 10syl2an 480 . . . . 5  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x. 
sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
124, 7, 11syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
135simp2d 1020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
14 n0 3740 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  B )
1513, 14sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. b  b  e.  B )
16 0red 9641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  e.  RR )
175simp1d 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
1817sselda 3431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
197adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
20 simp1r 1032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
211, 20sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B 
0  <_  x )
22 breq2 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  b ) )
2322rspccv 3146 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  B  0  <_  x  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_ 
b ) )
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  0  <_  b )
)
2524imp 431 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  b )
26 suprub 10567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
275, 26sylan 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
2816, 18, 19, 25, 27letrd 9789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  0  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
2915, 28exlimddv 1780 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
30 simp1l 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  0  <_  x  /\  A. x  e.  B 
0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( B 
C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  A. x  e.  A  0  <_  x )
311, 30sylbi 199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <_  x )
32 eqid 2450 . . . . . 6  |-  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  =  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }
33 biid 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  <_  sup ( B ,  RR ,  <  )  /\  A. x  e.  A  0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )  <->  ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  <_  sup ( B ,  RR ,  <  )  /\  A. x  e.  A  0  <_  x )  /\  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
3432, 33supmul1 10573 . . . . 5  |-  ( ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  0  <_  sup ( B ,  RR ,  <  )  /\  A. x  e.  A  0  <_  x )  /\  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  sup ( A ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  ) )
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  sup ( A ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  ) )
3612, 35eqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  ) )
37 vex 3047 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
38 eqeq1 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  <->  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
) ) )
3938rexbidv 2900 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  <->  E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) ) )
4037, 39elab 3184 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  <->  E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) )
417adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
422simp1d 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4342sselda 3431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
44 recn 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
45 mulcom 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  =  ( a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
469, 44, 45syl2an 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  =  ( a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
4741, 43, 46syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  =  ( a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
48 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  a ) )
4948rspccv 3146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  0  <_  x  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_ 
a ) )
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  0  <_  a )
)
5150imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  0  <_  a )
5221adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  B  0  <_  x )
535adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )
54 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  =  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }
55 biid 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a  /\  A. x  e.  B  0  <_  x )  /\  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  <->  ( (
a  e.  RR  /\  0  <_  a  /\  A. x  e.  B  0  <_  x )  /\  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) ) )
5654, 55supmul1 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  0  <_  a  /\  A. x  e.  B  0  <_  x )  /\  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
) )  ->  (
a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } ,  RR ,  <  ) )
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } ,  RR ,  <  ) )
58 eqeq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  <->  w  =  ( a  x.  b
) ) )
5958rexbidv 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
6037, 59elab 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  <->  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
61 rspe 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  A  /\  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b ) )
62 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  a  ->  (
v  x.  b )  =  ( a  x.  b ) )
6362eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  x.  b )  <->  z  =  ( a  x.  b
) ) )
6463rexbidv 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) ) )
6564cbvrexv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
66582rexbidv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
6765, 66syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) ) )
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  x.  b ) }
6937, 67, 68elab2 3187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
7061, 69sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  A  /\  E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b ) )  ->  w  e.  C )
7170ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  A  ->  ( E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  e.  C ) )
7268, 1supmullem2 10575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x ) )
73 suprub 10567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )  /\  w  e.  C )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
7473ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x
)  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
7671, 75sylan9r 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
7760, 76syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
7877ralrimiv 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
7943adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  a  e.  RR )
8018adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
8179, 80remulcld 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
a  x.  b )  e.  RR )
82 eleq1a 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  x.  b )  e.  RR  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  -> 
z  e.  RR ) )
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
z  =  ( a  x.  b )  -> 
z  e.  RR ) )
8483rexlimdva 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  ->  z  e.  RR ) )
8584abssdv 3502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  C_  RR )
86 ovex 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  x.  b )  e. 
_V
8786isseti 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  E. w  w  =  ( a  x.  b )
8887rgenw 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  A. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  x.  b )
89 r19.2z 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  A. b  e.  B  E. w  w  =  (
a  x.  b ) )  ->  E. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  x.  b ) )
9013, 88, 89sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  x.  b
) )
91 rexcom4 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. b  e.  B  E. w  w  =  (
a  x.  b )  <->  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b ) )
9290, 91sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b
) )
9359cbvexv 2116 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b )  <->  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  x.  b ) )
9492, 93sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) )
95 abn0 3750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) }  =/=  (/)  <->  E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) )
9694, 95sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  =/=  (/) )
9796adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  =/=  (/) )
98 suprcl 10566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x
)  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
101 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( w  <_  x 
<->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
102101ralbidv 2826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  x  <->  A. w  e.  {
z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b
) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
103102rspcev 3149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  x
)
104100, 78, 103syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  x )
105 suprleub 10570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  C_  RR  /\  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) }  =/=  (/) 
/\  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  x
)  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
10778, 106mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  x.  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
10857, 107eqbrtrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
a  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
10947, 108eqbrtrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
110 breq1 4404 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  ->  ( w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
111109, 110syl5ibrcom 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
112111rexlimdva 2878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
11340, 112syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
114113ralrimiv 2799 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
11541, 43remulcld 9668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  e.  RR )
116 eleq1a 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  e.  RR  ->  ( z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  ->  z  e.  RR ) )
117115, 116syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  ->  z  e.  RR ) )
118117rexlimdva 2878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a )  ->  z  e.  RR ) )
119118abssdv 3502 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  C_  RR )
1202simp2d 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
121 ovex 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  e.  _V
122121isseti 3050 . . . . . . . . 9  |-  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)
123122rgenw 2748 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  A  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)
124 r19.2z 3857 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
) )  ->  E. a  e.  A  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
) )
125120, 123, 124sylancl 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) )
126 rexcom4 3066 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a
)  <->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) )
127125, 126sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) )
128 abn0 3750 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  =/=  (/)  <->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) )
129127, 128sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  =/=  (/) )
130101ralbidv 2826 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  x  <->  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
131130rspcev 3149 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  x
)
13299, 114, 131syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  x )
133 suprleub 10570 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  C_  RR  /\  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) }  =/=  (/) 
/\  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  x )  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
135114, 134mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  x.  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
13636, 135eqbrtrd 4422 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
13768, 1supmullem1 10574 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
1384, 7remulcld 9668 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
139 suprleub 10570 . . . 4  |-  ( ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )  ->  ( sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x. 
sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
14072, 138, 139syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x. 
sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
141137, 140mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  <_ 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
142138, 99letri3d 9774 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
143136, 141, 142mpbir2and 932 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  x.  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886   {cab 2436    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   supcsup 7951   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536    x. cmul 9541    < clt 9672    <_ cle 9673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267
This theorem is referenced by:  sqrlem5  13303
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