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Theorem supmo 7972
Description: Any class  B has at most one supremum in  A (where  R is interpreted as 'less than'). (Contributed by NM, 5-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
supmo  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem supmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmo.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
2 ancom 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) )
32anbi2ci 700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
4 an42 832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
5 an42 832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  <-> 
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  B  -.  x R y ) ) )
63, 4, 53bitr4i 280 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  <->  ( ( A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) ) )
7 ralnex 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
8 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y R w  <->  x R w ) )
9 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y R z  <->  x R
z ) )
109rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  x R
z ) )
118, 10imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  (
( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) ) )
1211rspcva 3186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. z  e.  B  x R
z ) )
13 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
x R y  <->  x R
z ) )
1413cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  x R y  <->  E. z  e.  B  x R
z )
1512, 14syl6ibr 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( x R w  ->  E. y  e.  B  x R
y ) )
1615con3d 138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  x R y  ->  -.  x R w ) )
177, 16syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  ->  -.  x R w ) )
1817expimpd 606 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
1918ad2antrl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  ->  -.  x R w ) )
20 ralnex 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  w R y  <->  -.  E. y  e.  B  w R
y )
21 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
22 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
2322rexbidv 2946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
2421, 23imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2524rspcva 3186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
26 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
w R y  <->  w R
z ) )
2726cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  w R y  <->  E. z  e.  B  w R
z )
2825, 27syl6ibr 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( w R x  ->  E. y  e.  B  w R
y ) )
2928con3d 138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( -.  E. y  e.  B  w R y  ->  -.  w R x ) )
3020, 29syl5bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  A  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  ->  -.  w R x ) )
3130expimpd 606 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3231ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y )  ->  -.  w R x ) )
3319, 32anim12d 565 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z )  /\  A. y  e.  B  -.  x R y )  /\  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  /\  A. y  e.  B  -.  w R y ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
346, 33syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
35 sotrieq2 4803 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
x  =  w  <->  ( -.  x R w  /\  -.  w R x ) ) )
3634, 35sylibrd 237 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  w  e.  A
) )  ->  (
( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
3736ralrimivva 2853 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
381, 37syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
39 breq1 4429 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x R y  <->  w R
y ) )
4039notbid 295 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  ( -.  x R y  <->  -.  w R y ) )
4140ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  w R y ) )
42 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
y R x  <->  y R w ) )
4342imbi1d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
4443ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R w  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
4541, 44anbi12d 715 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
4645rmo4 3270 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <->  A. x  e.  A  A. w  e.  A  ( ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  /\  ( A. y  e.  B  -.  w R y  /\  A. y  e.  A  (
y R w  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  x  =  w ) )
4738, 46sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   E*wrmo 2785   class class class wbr 4426    Or wor 4774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-po 4775  df-so 4776
This theorem is referenced by:  supexd  7973  supeu  7974
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