Theorem supminf 13656

Description: The supremum of a bounded-above set of reals is the negation of the supremum of that set's image under negation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
supminf	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ))

Distinct variable group:   x,A,y,z

Proof of Theorem supminf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 2692	. . . . . 6 |- {z e. RR | -uz e. A} C_ RR
2		infmsup 7277	. . . . . 6 |- (({z e. RR | -uz e. A} C_ RR /\ {z e. RR | -uz e. A} =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ))
3	1, 2	mp3an1 1178	. . . . 5 |- (({z e. RR | -uz e. A} =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ))
4		negn0 13655	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))
5		ublbneg 13653	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
6	3, 4, 5	syl2an 503	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ))
7	6	3impa 1062	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ))
8		negeq 6514	. . . . . . . . . . 11 |- (w = x -> -uw = -ux)
9	8	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (-uw e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
10	9	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- (x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} <-> (x e. RR /\ -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
11	10	simplbi 349	. . . . . . . 8 |- (x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} -> x e. RR)
12	11	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}) -> x e. RR)
13		ssel2 2616	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ x e. A) -> x e. RR)
14	9	elrab3 2415	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} <-> -ux e. {z e. RR | -uz e. A}))
15		renegcl 6600	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> -ux e. RR)
16		negeq 6514	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = -ux -> -uz = -u-ux)
17	16	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = -ux -> (-uz e. A <-> -u-ux e. A))
18	17	elrab3 2415	. . . . . . . . . . 11 |- (-ux e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -u-ux e. A))
19	15, 18	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> -u-ux e. A))
20		recn 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> x e. CC)
21		negneg 6553	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. CC -> -u-ux = x)
22	20, 21	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. RR -> -u-ux = x)
23	22	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> (-u-ux e. A <-> x e. A))
24	19, 23	bitrd 587	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> (-ux e. {z e. RR | -uz e. A} <-> x e. A))
25	14, 24	bitrd 587	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} <-> x e. A))
26	25	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (x e. {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} <-> x e. A))
27	12, 13, 26	eqrdav 1883	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> {w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} = A)
28		supeq1 5665	. . . . . 6 |- ({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}} = A -> sup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ) = sup(A, RR, < ))
29	27, 28	syl 12	. . . . 5 |- (A C_ RR -> sup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ) = sup(A, RR, < ))
30	29	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ) = sup(A, RR, < ))
31	30	negeqd 6516	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> -usup({w e. RR | -uw e. {z e. RR | -uz e. A}}, RR, < ) = -usup(A, RR, < ))
32	7, 31	eqtrd 1925	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup(A, RR, < ))
33		infmrcl 7278	. . . . . 6 |- (({z e. RR | -uz e. A} C_ RR /\ {z e. RR | -uz e. A} =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR)
34	1, 33	mp3an1 1178	. . . . 5 |- (({z e. RR | -uz e. A} =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR)
35	34, 4, 5	syl2an 503	. . . 4 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR)
36	35	3impa 1062	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR)
37		suprcl 7264	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) e. RR)
38		negcon2 6571	. . . 4 |- ((sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. CC /\ sup(A, RR, < ) e. CC) -> (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup(A, RR, < ) <-> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < )))
39		recn 6466	. . . 4 |- (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. CC)
40		recn 6466	. . . 4 |- (sup(A, RR, < ) e. RR -> sup(A, RR, < ) e. CC)
41	38, 39, 40	syl2an 503	. . 3 |- ((sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR /\ sup(A, RR, < ) e. RR) -> (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup(A, RR, < ) <-> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < )))
42	36, 37, 41	syl11anc 524	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) = -usup(A, RR, < ) <-> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < )))
43	32, 42	mpbid 212	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  supcsup 5663  CCcc 6384  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  suprzcl 13658

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain