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Theorem supmaxlemOLD 7982
Description: A set that contains the greatest element satisfies the antecedent in supremum theorems. This allows  sup ( A ,  B ,  R ) to be used in some situations without the completeness axiom. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) Obsolete as of 30-Mar-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supmaxlemOLD  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, z, B    x, C, y, z    x, R, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)

Proof of Theorem supmaxlemOLD
StepHypRef Expression
1 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
y R z  <->  y R C ) )
21rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  B  /\  y R C )  ->  E. z  e.  B  y R z )
32ex 436 . . . . 5  |-  ( C  e.  B  ->  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
43ralrimivw 2803 . . . 4  |-  ( C  e.  B  ->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
5 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( C R z  <->  C R
y ) )
65notbid 296 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  C R z  <->  -.  C R y ) )
76cbvralv 3019 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  <->  A. y  e.  B  -.  C R y )
87biimpi 198 . . . 4  |-  ( A. z  e.  B  -.  C R z  ->  A. y  e.  B  -.  C R y )
94, 8anim12ci 571 . . 3  |-  ( ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  -> 
( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
10 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
x R y  <->  C R
y ) )
1110notbid 296 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  ( -.  x R y  <->  -.  C R y ) )
1211ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  A. y  e.  B  -.  C R y ) )
13 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  (
y R x  <->  y R C ) )
1413imbi1d 319 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1514ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) )
1612, 15anbi12d 717 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  (
y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
1716rspcev 3150 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( A. y  e.  B  -.  C R y  /\  A. y  e.  A  ( y R C  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
189, 17sylan2 477 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
19183impb 1204 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  C  e.  B  /\  A. z  e.  B  -.  C R z )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403
This theorem is referenced by:  supmaxOLD  7983
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