Theorem supmaxlemOLD 7982

Description: A set that contains the greatest element satisfies the antecedent in supremum theorems. This allows sup ( A , B , R ) to be used in some situations without the completeness axiom. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.) Obsolete as of 30-Mar-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
supmaxlemOLD	|- ( ( C e. A /\ C e. B /\ A. z e. B -. C R z ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, z, B   x, C, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   A( y, z)

Proof of Theorem supmaxlemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( z = C -> ( y R z <-> y R C ) )
2	1	rspcev 3150	. . . . . 6 |- ( ( C e. B /\ y R C ) -> E. z e. B y R z )
3	2	ex 436	. . . . 5 |- ( C e. B -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
4	3	ralrimivw 2803	. . . 4 |- ( C e. B -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
5		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C R z <-> C R y ) )
6	5	notbid 296	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( -. C R z <-> -. C R y ) )
7	6	cbvralv 3019	. . . . 5 |- ( A. z e. B -. C R z <-> A. y e. B -. C R y )
8	7	biimpi 198	. . . 4 |- ( A. z e. B -. C R z -> A. y e. B -. C R y )
9	4, 8	anim12ci 571	. . 3 |- ( ( C e. B /\ A. z e. B -. C R z ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
10		breq1 4405	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( x R y <-> C R y ) )
11	10	notbid 296	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( -. x R y <-> -. C R y ) )
12	11	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. C R y ) )
13		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( y R x <-> y R C ) )
14	13	imbi1d 319	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
15	14	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
16	12, 15	anbi12d 717	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) )
17	16	rspcev 3150	. . 3 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
18	9, 17	sylan2 477	. 2 |- ( ( C e. A /\ ( C e. B /\ A. z e. B -. C R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
19	18	3impb 1204	1 |- ( ( C e. A /\ C e. B /\ A. z e. B -. C R z ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403

This theorem is referenced by:  supmaxOLD  7983