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Theorem suplub 7971
Description: A supremum is the least upper bound. See also supcl 7969 and supub 7970. (Contributed by NM, 13-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
supcl.2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplub  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, R, y, z    x, B, y, z    z, C
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    C( x, y)

Proof of Theorem suplub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )
2 breq1 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
y R x  <->  w R x ) )
3 breq1 4420 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
y R z  <->  w R
z ) )
43rexbidv 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  ( E. z  e.  B  y R z  <->  E. z  e.  B  w R
z ) )
52, 4imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
65cbvralv 3053 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
71, 6sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) )
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )  ->  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
98ss2rabi 3540 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  C_  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }
10 supmo.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
1110supval2 7966 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  =  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) ) )
12 supcl.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
1310, 12supeu 7965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
14 riotacl2 6271 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1513, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
1611, 15eqeltrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
179, 16sseldi 3459 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  { x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) } )
18 breq2 4421 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( w R x  <->  w R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
1918imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2019ralbidv 2862 . . . . 5  |-  ( x  =  sup ( B ,  A ,  R
)  ->  ( A. w  e.  A  (
w R x  ->  E. z  e.  B  w R z )  <->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R z ) ) )
2120elrab 3226 . . . 4  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  <-> 
( sup ( B ,  A ,  R
)  e.  A  /\  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) ) )
2221simprbi 465 . . 3  |-  ( sup ( B ,  A ,  R )  e.  {
x  e.  A  |  A. w  e.  A  ( w R x  ->  E. z  e.  B  w R z ) }  ->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
2317, 22syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  A  ( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z ) )
24 breq1 4420 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  <->  C R sup ( B ,  A ,  R ) ) )
25 breq1 4420 . . . . . 6  |-  ( w  =  C  ->  (
w R z  <->  C R
z ) )
2625rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  ( E. z  e.  B  w R z  <->  E. z  e.  B  C R
z ) )
2724, 26imbi12d 321 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
( w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  <->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R z ) ) )
2827rspccv 3176 . . 3  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  ( C  e.  A  ->  ( C R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  C R
z ) ) )
2928impd 432 . 2  |-  ( A. w  e.  A  (
w R sup ( B ,  A ,  R )  ->  E. z  e.  B  w R
z )  ->  (
( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R ) )  ->  E. z  e.  B  C R z ) )
3023, 29syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( ( C  e.  A  /\  C R sup ( B ,  A ,  R )
)  ->  E. z  e.  B  C R
z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   E!wreu 2775   {crab 2777   class class class wbr 4417    Or wor 4765   iota_crio 6257   supcsup 7951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-po 4766  df-so 4767  df-iota 5556  df-riota 6258  df-sup 7953
This theorem is referenced by:  suplub2  7972  supnub  7973  supiso  7988  infglb  8003  supxrun  11590  supxrunb1  11594  supxrunb2  11595  esum2d  28750  omssubaddlem  28957  omssubadd  28958  gtinf  30757
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