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Theorem suplem2pr 8557
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    y, z, A

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8502 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4644 . . . . 5  |-  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )
)
32simpld 447 . . . 4  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  e.  P. )
4 ralnex 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  -.  E. z  e.  A  y  <P  z )
5 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  P. )
6 ltsopr 8536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <P  Or  P.
7 sotric 4233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<P  Or  P.  /\  (
y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y ) ) )
86, 7mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y
) ) )
98con2bid 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
109ancoms 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
11 ltprord 8534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  <P  y  <->  z 
C.  y ) )
1211orbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) ) )
13 sspss 3195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C.  y  \/  z  =  y ) )
14 equcom 1824 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1514orbi2i 507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  z  =  y )  <-> 
( z  C.  y  \/  y  =  z
) )
16 orcom 378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  y  =  z )  <-> 
( y  =  z  \/  z  C.  y
) )
1713, 15, 163bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) )
1812, 17syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  z  C_  y ) )
1910, 18bitr3d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P 
z  <->  z  C_  y
) )
205, 19sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y
) )
2120an32s 782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y ) )
2221ralbidva 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
234, 22syl5bbr 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
24 unissb 3755 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  <->  A. z  e.  A  z  C_  y )
2523, 24syl6bbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  U. A  C_  y ) )
26 ssnpss 3199 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  C.  U. A )
27 ltprord 8534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  <->  y 
C.  U. A ) )
2827biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  ->  y  C.  U. A
) )
292, 28mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  C.  U. A )
3026, 29nsyl 115 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  <P  U. A )
3125, 30syl6bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  ->  -.  y  <P  U. A ) )
3231con4d 99 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
3332ex 425 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  P.  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
343, 33syl5 30 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
3534pm2.43d 46 . 2  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
36 elssuni 3753 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
37 ssnpss 3199 . . . 4  |-  ( y 
C_  U. A  ->  -.  U. A  C.  y )
3836, 37syl 17 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  C.  y )
391brel 4644 . . . 4  |-  ( U. A  <P  y  ->  ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)
40 ltprord 8534 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  <->  U. A  C.  y ) )
4140biimpd 200 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y
) )
4239, 41mpcom 34 . . 3  |-  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y )
4338, 42nsyl 115 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
4435, 43jctil 525 1  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078    C. wpss 3079   U.cuni 3727   class class class wbr 3920    Or wor 4206   P.cnp 8361    <P cltp 8365
This theorem is referenced by:  supexpr  8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-mi 8378  df-lti 8379  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-ltp 8489
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