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Theorem suplem2pr 9241
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    y, z, A

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9186 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4906 . . . . 5  |-  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )
)
32simpld 459 . . . 4  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  e.  P. )
4 ralnex 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  -.  E. z  e.  A  y  <P  z )
5 ssel2 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  P. )
6 ltsopr 9220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <P  Or  P.
7 sotric 4686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<P  Or  P.  /\  (
y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y ) ) )
86, 7mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y
) ) )
98con2bid 329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
109ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
11 ltprord 9218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  <P  y  <->  z 
C.  y ) )
1211orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) ) )
13 sspss 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C.  y  \/  z  =  y ) )
14 equcom 1732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1514orbi2i 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  z  =  y )  <->  ( z  C.  y  \/  y  =  z )
)
16 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  y  =  z )  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y )
)
1713, 15, 163bitri 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) )
1812, 17syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  z  C_  y ) )
1910, 18bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P 
z  <->  z  C_  y
) )
205, 19sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y
) )
2120an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y ) )
2221ralbidva 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
234, 22syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
24 unissb 4142 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  <->  A. z  e.  A  z  C_  y )
2523, 24syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  U. A  C_  y ) )
26 ssnpss 3478 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  C.  U. A )
27 ltprord 9218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  <->  y 
C.  U. A ) )
2827biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  ->  y  C.  U. A ) )
292, 28mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  C. 
U. A )
3026, 29nsyl 121 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  <P  U. A )
3125, 30syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  ->  -.  y  <P  U. A ) )
3231con4d 105 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
3332ex 434 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  P.  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
343, 33syl5 32 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
3534pm2.43d 48 . 2  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
36 elssuni 4140 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
37 ssnpss 3478 . . . 4  |-  ( y 
C_  U. A  ->  -.  U. A  C.  y )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  C.  y )
391brel 4906 . . . 4  |-  ( U. A  <P  y  ->  ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)
40 ltprord 9218 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  <->  U. A  C.  y ) )
4140biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y
) )
4239, 41mpcom 36 . . 3  |-  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y )
4338, 42nsyl 121 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
4435, 43jctil 537 1  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E.wrex 2735    C_ wss 3347    C. wpss 3348   U.cuni 4110   class class class wbr 4311    Or wor 4659   P.cnp 9045    <P cltp 9049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-ni 9060  df-mi 9062  df-lti 9063  df-ltpq 9098  df-enq 9099  df-nq 9100  df-ltnq 9106  df-np 9169  df-ltp 9173
This theorem is referenced by:  supexpr  9242
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