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Theorem suplem1pr 8885
Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem1pr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suplem1pr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8831 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4885 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
32simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
43ralimi 2741 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
5 dfss3 3298 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
64, 5sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
76rexlimivw 2786 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
9 n0 3597 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
10 ssel 3302 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  P. ) )
11 prn0 8822 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P.  ->  z  =/=  (/) )
12 0pss 3625 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  C.  z  <->  z  =/=  (/) )
1311, 12sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  P.  ->  (/)  C.  z
)
14 elssuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  C_ 
U. A )
15 psssstr 3413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C.  z  /\  z  C_ 
U. A )  ->  (/)  C.  U. A )
1613, 14, 15syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  P.  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  C.  U. A )
1716expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  P.  ->  (/)  C. 
U. A ) )
1810, 17sylcom 27 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (/)  C.  U. A ) )
1918exlimdv 1643 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  -> 
(/)  C.  U. A ) )
209, 19syl5bi 209 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  (/)  C.  U. A ) )
21 prpssnq 8823 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C.  Q. )
2221adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  x  C.  Q. )
23 ltprord 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
24 pssss 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
2523, 24syl6bi 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  ->  y  C_  x )
)
262, 25mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  y  C_  x )
2726ralimi 2741 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  C_  x )
28 unissb 4005 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x )
2927, 28sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C_  x )
30 sspsstr 3412 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  C_  x  /\  x  C.  Q. )  ->  U. A  C.  Q. )
3130expcom 425 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  Q.  ->  ( U. A  C_  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3222, 29, 31syl2im 36 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3332rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3420, 33anim12d 547 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) ) )
358, 34mpcom 34 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) )
36 prcdnq 8826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  ( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) )
3736ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) ) )
3837com3r 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<Q  x  ->  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) ) )
3910, 38sylan9 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
z  e.  A  -> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
4039reximdvai 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  ( E. z  e.  A  x  e.  z  ->  E. z  e.  A  y  e.  z ) )
41 eluni2 3979 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  x  e.  z )
42 eluni2 3979 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
4340, 41, 423imtr4g 262 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
x  e.  U. A  ->  y  e.  U. A
) )
4443ex 424 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<Q  x  ->  ( x  e.  U. A  -> 
y  e.  U. A
) ) )
4544com23 74 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A
) ) )
4645alrimdv 1640 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A ) ) )
47 eluni 3978 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  A
) )
48 prnmax 8828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y )
4948ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
5010, 49syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5150com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5251imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
53 ssrexv 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  U. A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5414, 53syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5552, 54sylcom 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5655expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5756exlimdv 1643 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5847, 57syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5946, 58jcad 520 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6059ralrimiv 2748 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
618, 60syl 16 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
62 elnp 8820 . 2  |-  ( U. A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  U. A
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6335, 61, 62sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280    C. wpss 3281   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   Q.cnq 8683    <Q cltq 8689   P.cnp 8690    <P cltp 8694
This theorem is referenced by:  supexpr  8887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-ni 8705  df-nq 8745  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-ltp 8818
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