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Theorem suplem1pr 8556
Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem1pr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suplem1pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8502 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4644 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
32simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
43ralimi 2580 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
5 dfss3 3093 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
64, 5sylibr 205 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
76rexlimivw 2625 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87adantl 454 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
9 n0 3371 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
10 ssel 3097 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  P. ) )
11 prn0 8493 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P.  ->  z  =/=  (/) )
12 0pss 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  C.  z  <->  z  =/=  (/) )
1311, 12sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  P.  ->  (/)  C.  z
)
14 elssuni 3753 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  C_ 
U. A )
15 psssstr 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C.  z  /\  z  C_ 
U. A )  ->  (/)  C.  U. A )
1613, 14, 15syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  P.  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  C.  U. A )
1716expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  P.  ->  (/)  C. 
U. A ) )
1810, 17sylcom 27 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (/)  C.  U. A ) )
1918exlimdv 1932 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  -> 
(/)  C.  U. A ) )
209, 19syl5bi 210 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  (/)  C.  U. A ) )
21 prpssnq 8494 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C.  Q. )
2221adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  x  C.  Q. )
23 ltprord 8534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
24 pssss 3192 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
2523, 24syl6bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  ->  y  C_  x )
)
262, 25mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  y  C_  x )
2726ralimi 2580 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  C_  x )
28 unissb 3755 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x )
2927, 28sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C_  x )
30 sspsstr 3201 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  C_  x  /\  x  C.  Q. )  ->  U. A  C.  Q. )
3130expcom 426 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  Q.  ->  ( U. A  C_  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3222, 29, 31syl2im 36 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3332rexlimdva 2629 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3420, 33anim12d 548 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) ) )
358, 34mpcom 34 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) )
36 prcdnq 8497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  ( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) )
3736ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) ) )
3837com3r 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<Q  x  ->  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) ) )
3910, 38sylan9 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
z  e.  A  -> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
4039reximdvai 2615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  ( E. z  e.  A  x  e.  z  ->  E. z  e.  A  y  e.  z ) )
41 eluni2 3731 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  x  e.  z )
42 eluni2 3731 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
4340, 41, 423imtr4g 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
x  e.  U. A  ->  y  e.  U. A
) )
4443ex 425 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<Q  x  ->  ( x  e.  U. A  -> 
y  e.  U. A
) ) )
4544com23 74 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A
) ) )
4645alrimdv 2014 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A ) ) )
47 eluni 3730 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  A
) )
48 prnmax 8499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y )
4948ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
5010, 49syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5150com23 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5251imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
53 ssrexv 3159 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  U. A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5414, 53syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5552, 54sylcom 27 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5655expimpd 589 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5756exlimdv 1932 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5847, 57syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5946, 58jcad 521 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6059ralrimiv 2587 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
618, 60syl 17 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
62 elnp 8491 . 2  |-  ( U. A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  U. A
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6335, 61, 62sylanbrc 648 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   A.wal 1532   E.wex 1537    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078    C. wpss 3079   (/)c0 3362   U.cuni 3727   class class class wbr 3920   Q.cnq 8354    <Q cltq 8360   P.cnp 8361    <P cltp 8365
This theorem is referenced by:  supexpr  8558
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-ni 8376  df-nq 8416  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-ltp 8489
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