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Theorem supisolem 7830
Description: Lemma for supiso 7832. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
supisolem  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Distinct variable groups:    w, v,
y, z, A    v, C, w, y, z    w, D, y, z    ph, w    v, F, w, y, z   
w, R, y, z   
v, S, w, y, z    v, B, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, z, v)    D( v)    R( v)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
2 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A ) )
4 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
6 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  D  e.  A )
7 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  C  C_  A )
87sselda 3463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  y  e.  A )
9 isorel 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  ( D  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
105, 6, 8, 9syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( D R y  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1110notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  C
)  ->  ( -.  D R y  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1211ralbidva 2843 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
13 isof1o 6124 . . . . . . 7  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
144, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
15 f1ofn 5749 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  A )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  F  Fn  A )
17 breq2 4403 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( F `  D
) S w  <->  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1817notbid 294 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( -.  ( F `  D
) S w  <->  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
1918ralima 6065 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D
) S ( F `
 y ) ) )
2016, 7, 19syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D
) S w  <->  A. y  e.  C  -.  ( F `  D ) S ( F `  y ) ) )
2112, 20bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  C  -.  D R y  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 D ) S w ) )
224adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
23 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
24 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  D  e.  A )
25 isorel 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  D  e.  A )
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2622, 23, 24, 25syl12anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y R D  <->  ( F `  y ) S ( F `  D ) ) )
2722adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
28 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  y  e.  A )
297adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  C  C_  A
)
3029sselda 3463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  z  e.  A )
31 isorel 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  A )
)  ->  ( y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3227, 28, 30, 31syl12anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A
)  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  C )  ->  (
y R z  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3332rexbidva 2861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3416adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  F  Fn  A )
35 breq2 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  z )  ->  (
( F `  y
) S v  <->  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3635rexima 6064 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  C_  A )  -> 
( E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3734, 29, 36syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `
 y ) S v  <->  E. z  e.  C  ( F `  y ) S ( F `  z ) ) )
3833, 37bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  C  y R z  <->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) )
3926, 38imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
4039ralbidva 2843 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v ) ) )
41 f1ofo 5755 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
42 breq1 4402 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S ( F `
 D )  <->  w S
( F `  D
) ) )
43 breq1 4402 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
) S v  <->  w S
v ) )
4443rexbidv 2864 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  ( E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y ) S v  <->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )
4542, 44imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <-> 
( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4645cbvfo 6101 . . . . 5  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A. y  e.  A  ( ( F `
 y ) S ( F `  D
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) ( F `  y ) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4714, 41, 463syl 20 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( ( F `  y ) S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) ( F `  y
) S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
4840, 47bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R z )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
4921, 48anbi12d 710 . 2  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
503, 49sylan 471 1  |-  ( (
ph  /\  D  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  D R y  /\  A. y  e.  A  ( y R D  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  D ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  D )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   "cima 4950    Fn wfn 5520   -onto->wfo 5523   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525    Isom wiso 5526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534
This theorem is referenced by:  supisoex  7831  supiso  7832
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