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Theorem supisoex 7921
Description: Lemma for supiso 7922. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
supiso.2  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
supisoex.3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
Assertion
Ref Expression
supisoex  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, C, v, w, x, y, z    ph, u, w    u, F, v, w, x, y, z    u, R, w, x, y, z   
u, S, v, w, x, y, z    u, B, v, w, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, v)    R( v)

Proof of Theorem supisoex
StepHypRef Expression
1 supisoex.3 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) ) )
2 supiso.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
3 supiso.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
4 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F  Isom  R ,  S  ( A ,  B ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
64, 5supisolem 7920 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
7 isof1o 6200 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
8 f1of 5807 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
94, 7, 83syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  F : A --> B )
109ffvelrnda 6012 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
11 breq1 4443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
u S w  <->  ( F `  x ) S w ) )
1211notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( -.  u S w  <->  -.  ( F `  x ) S w ) )
1312ralbidv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  <->  A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w ) )
14 breq2 4444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
w S u  <->  w S
( F `  x
) ) )
1514imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <-> 
( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1615ralbidv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v )  <->  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C ) w S v ) ) )
1713, 16anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  x )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  <->  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
1817rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  ( F `  x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x
)  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
1918ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. w  e.  ( F " C
)  -.  ( F `
 x ) S w  /\  A. w  e.  B  ( w S ( F `  x )  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
216, 20sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R
z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
2221rexlimdva 2948 . . 3  |-  ( ( F  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  C  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
232, 3, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  C  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  C  y R z ) )  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) ) )
241, 23mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. u  e.  B  ( A. w  e.  ( F " C )  -.  u S w  /\  A. w  e.  B  ( w S u  ->  E. v  e.  ( F " C
) w S v ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   "cima 4995   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579    Isom wiso 5580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588
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