MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Unicode version

Theorem supicclub2 11725
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
supicc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
supicc.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
supicc.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
supiccub.1  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
supicclub2.1  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  D )
Assertion
Ref Expression
supicclub2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D )
Distinct variable groups:    z, A    z, D    ph, z
Allowed substitution hints:    B( z)    C( z)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 supicclub2.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  D )
2 supicc.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
3 iccssxr 11661 . . . . . . . 8  |-  ( B [,] C )  C_  RR*
42, 3syl6ss 3454 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
54sselda 3442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
6 supiccub.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
74, 6sseldd 3443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
87adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  RR* )
9 xrlenlt 9682 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
z  <_  D  <->  -.  D  <  z ) )
105, 8, 9syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  <_  D  <->  -.  D  <  z ) )
111, 10mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  -.  D  <  z )
1211nrexdv 2860 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  A  D  <  z
)
13 supicc.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
14 supicc.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
15 supicc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
1613, 14, 2, 15, 6supicclub 11724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  D  <  z ) )
1712, 16mtbird 299 . 2  |-  ( ph  ->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
1813, 14, 2, 15supicc 11722 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,] C
) )
193, 18sseldi 3440 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e. 
RR* )
20 xrlenlt 9682 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e. 
RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D  <->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
2119, 7, 20syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D  <->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
2217, 21mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   supcsup 7934   RRcr 9521   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   [,]cicc 11585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-icc 11589
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator