MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Unicode version

Theorem supicclub2 11434
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
supicc.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
supicc.3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
supicc.4  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
supiccub.1  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
supicclub2.1  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  D )
Assertion
Ref Expression
supicclub2  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D )
Distinct variable groups:    z, A    z, D    ph, z
Allowed substitution hints:    B( z)    C( z)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 supicclub2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  D )
2 supicc.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  ( B [,] C ) )
3 iccssxr 11376 . . . . . . . . 9  |-  ( B [,] C )  C_  RR*
42, 3syl6ss 3366 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR* )
54sselda 3354 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
6 supiccub.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  A )
74, 6sseldd 3355 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  D  e.  RR* )
9 xrlenlt 9440 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
z  <_  D  <->  -.  D  <  z ) )
105, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
z  <_  D  <->  -.  D  <  z ) )
111, 10mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  -.  D  <  z )
1211ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  -.  D  <  z )
13 ralnex 2723 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  -.  D  <  z  <->  -.  E. z  e.  A  D  <  z )
1412, 13sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  E. z  e.  A  D  <  z
)
15 supicc.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
16 supicc.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
17 supicc.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
1815, 16, 2, 17, 6supicclub 11433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  D  <  z ) )
1918notbid 294 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  E. z  e.  A  D  <  z ) )
2014, 19mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2115, 16, 2, 17supicc 11431 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  ( B [,] C
) )
223, 21sseldi 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e. 
RR* )
23 xrlenlt 9440 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e. 
RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D  <->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
2422, 7, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D  <->  -.  D  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
2520, 24mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3326   (/)c0 3635   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   supcsup 7688   RRcr 9279   RR*cxr 9415    < clt 9416    <_ cle 9417   [,]cicc 11301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-icc 11305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator