Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Structured version   Unicode version

Theorem supfz 29811
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10830 . . . 4  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9614 . . . 4  |-  <  Or  RR
3 soss 4759 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ZZ
54a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  <  Or  ZZ )
6 eluzelz 11052 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 11663 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 11659 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  x  <_  N )
10 elfzelz 11657 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1110zred 10926 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
12 eluzelre 11053 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 9612 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
1411, 12, 13syl2anr 476 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
159, 14mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  x )
165, 6, 7, 15supmax 7875 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    C_ wss 3411   class class class wbr 4392    Or wor 4740   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   supcsup 7852   RRcr 9439    < clt 9576    <_ cle 9577   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043   ...cfz 11641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-neg 9762  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator