Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem supfz 30362
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10944 . . . 4  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9714 . . . 4  |-  <  Or  RR
3 soss 4773 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ZZ
54a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  <  Or  ZZ )
6 eluzelz 11168 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 11807 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 11803 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
98adantl 468 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  x  <_  N )
10 elfzelz 11800 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1110zred 11040 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
12 eluzelre 11169 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 9712 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
1411, 12, 13syl2anr 481 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
159, 14mpbid 214 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  x )
165, 6, 7, 15supmax 7981 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   class class class wbr 4402    Or wor 4754   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supcsup 7954   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-neg 9863  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator