Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supfz Structured version   Unicode version

Theorem supfz 27553
Description: The supremum of a finite sequence of integers. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.)
Assertion
Ref Expression
supfz  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )

Proof of Theorem supfz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10768 . . . 4  |-  ZZ  C_  RR
2 ltso 9570 . . . 4  |-  <  Or  RR
3 soss 4770 . . . 4  |-  ( ZZ  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  ZZ ) )
41, 2, 3mp2 9 . . 3  |-  <  Or  ZZ
54a1i 11 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  <  Or  ZZ )
6 eluzelz 10985 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
7 eluzfz2 11580 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
8 elfzle2 11576 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  <_  N )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  x  <_  N )
10 elfzelz 11574 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
1110zred 10862 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
12 eluzelre 10986 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
13 lenlt 9568 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
1411, 12, 13syl2anr 478 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  (
x  <_  N  <->  -.  N  <  x ) )
159, 14mpbid 210 . 2  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  x  e.  ( M ... N
) )  ->  -.  N  <  x )
165, 6, 7, 15supmax 7830 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  sup (
( M ... N
) ,  ZZ ,  <  )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   class class class wbr 4403    Or wor 4751   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supcsup 7805   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator