MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfirege Structured version   Unicode version

Theorem supfirege 10587
Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supfirege.1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
supfirege.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
supfirege.3  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
supfirege.4  |-  ( ph  ->  S  =  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
supfirege  |-  ( ph  ->  C  <_  S )

Proof of Theorem supfirege
StepHypRef Expression
1 ltso 9703 . . . 4  |-  <  Or  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  <  Or  RR )
3 supfirege.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 supfirege.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5 supfirege.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
6 supfirege.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
72, 3, 4, 5, 6supgtoreq 7983 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  <  S  \/  C  =  S
) )
83, 5sseldd 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
9 ne0i 3764 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
105, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
11 fisupcl 7982 . . . . . 6  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( B  e.  Fin  /\  B  =/=  (/)  /\  B  C_  RR ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  B
)
122, 4, 10, 3, 11syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  B )
136, 12eqeltrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  B )
143, 13sseldd 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
158, 14leloed 9767 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  <_  S  <->  ( C  <  S  \/  C  =  S )
) )
167, 15mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  C  <_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616    C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417    Or wor 4765   Fincfn 7568   supcsup 7951   RRcr 9527    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-om 6698  df-1o 7181  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  12189
  Copyright terms: Public domain W3C validator