MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Unicode version

Theorem supexpr 8887
Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 8885 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
2 ltrelpr 8831 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
32brel 4885 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
43simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
54ralimi 2741 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
6 dfss3 3298 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
75, 6sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87rexlimivw 2786 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
98adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
10 suplem2pr 8886 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
1110simpld 446 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
)
1211ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y )
1310simprd 450 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1413ralrimivw 2750 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1512, 14jca 519 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
169, 15syl 16 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
17 breq1 4175 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( x  <P  y  <->  U. A  <P  y )
)
1817notbid 286 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( -.  x  <P  y  <->  -.  U. A  <P  y
) )
1918ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  <->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y
) )
20 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  <P  x  <->  y 
<P  U. A ) )
2120imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2221ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e. 
P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2319, 22anbi12d 692 . . 3  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) ) )
2423rspcev 3012 . 2  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
251, 16, 24syl2anc 643 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   P.cnp 8690    <P cltp 8694
This theorem is referenced by:  supsrlem  8942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-mi 8707  df-lti 8708  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-ltp 8818
  Copyright terms: Public domain W3C validator