MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Unicode version

Theorem supexpr 9421
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 9419 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
2 ltrelpr 9365 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
32brel 5040 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
43simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
54ralimi 2850 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
6 dfss3 3487 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87rexlimivw 2945 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
10 suplem2pr 9420 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
1110simpld 459 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
)
1211ralrimiv 2869 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y )
1310simprd 463 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1413ralrimivw 2872 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1512, 14jca 532 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
169, 15syl 16 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
17 breq1 4443 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( x  <P  y  <->  U. A  <P  y )
)
1817notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( -.  x  <P  y  <->  -.  U. A  <P  y
) )
1918ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  <->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y
) )
20 breq2 4444 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  <P  x  <->  y 
<P  U. A ) )
2120imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2221ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e. 
P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2319, 22anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) ) )
2423rspcev 3207 . 2  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
251, 16, 24syl2anc 661 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   P.cnp 9226    <P cltp 9230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ni 9239  df-mi 9241  df-lti 9242  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-ltp 9352
This theorem is referenced by:  supsrlem  9477
  Copyright terms: Public domain W3C validator