MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Unicode version

Theorem supexpr 9430
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 9428 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
2 ltrelpr 9374 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
32brel 5034 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
43simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
54ralimi 2834 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
6 dfss3 3476 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87rexlimivw 2930 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
10 suplem2pr 9429 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
1110simpld 459 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
)
1211ralrimiv 2853 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y )
1310simprd 463 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1413ralrimivw 2856 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
1512, 14jca 532 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
169, 15syl 16 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
17 breq1 4436 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( x  <P  y  <->  U. A  <P  y )
)
1817notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( -.  x  <P  y  <->  -.  U. A  <P  y
) )
1918ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  <->  A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y
) )
20 breq2 4437 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  <P  x  <->  y 
<P  U. A ) )
2120imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2221ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( x  =  U. A  -> 
( A. y  e. 
P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z )  <->  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
2319, 22anbi12d 710 . . 3  |-  ( x  =  U. A  -> 
( ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) ) )
2423rspcev 3194 . 2  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  ( A. y  e.  A  -.  U. A  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  (
y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
251, 16, 24syl2anc 661 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  E. x  e.  P.  ( A. y  e.  A  -.  x  <P  y  /\  A. y  e.  P.  ( y  <P  x  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792    C_ wss 3458   (/)c0 3767   U.cuni 4230   class class class wbr 4433   P.cnp 9235    <P cltp 9239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-ni 9248  df-mi 9250  df-lti 9251  df-ltpq 9286  df-enq 9287  df-nq 9288  df-ltnq 9294  df-np 9357  df-ltp 9361
This theorem is referenced by:  supsrlem  9486
  Copyright terms: Public domain W3C validator