MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexd Structured version   Unicode version

Theorem supexd 7902
Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
supmo.1  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
Assertion
Ref Expression
supexd  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  _V )

Proof of Theorem supexd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7890 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 supmo.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  Or  A )
32supmo 7901 . . 3  |-  ( ph  ->  E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
4 rmorabex 4700 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  ->  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  e.  _V )
5 uniexg 6572 . . 3  |-  ( { x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  e.  _V  ->  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  e.  _V )
63, 4, 53syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  e.  _V )
71, 6syl5eqel 2552 1  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  A ,  R )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   E*wrmo 2810   {crab 2811   _Vcvv 3106   U.cuni 4238   class class class wbr 4440    Or wor 4792   supcsup 7889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-po 4793  df-so 4794  df-sup 7890
This theorem is referenced by:  supex  7912  omsfval  27891  wsucex  28945
  Copyright terms: Public domain W3C validator