Theorem supex2g 15761

Description: Existence of supremum.

Assertion

Ref	Expression
supex2g	|- (A e. C -> sup(B, A, R) e. _V)

Proof of Theorem supex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabexg 3460	. . 3 |- (A e. C -> {x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} e. _V)
2		uniexg 3795	. . 3 |- ({x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} e. _V -> U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} e. _V)
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A e. C -> U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} e. _V)
4		df-sup 5664	. 2 |- sup(B, A, R) = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))}
5	3, 4	syl5eqel 1975	1 |- (A e. C -> sup(B, A, R) e. _V)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  supcsup 5663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-uni 3178  df-sup 5664

Copyright terms: Public domain