Theorem superpos 11926

Description: Superposition Principle. If A and B are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from A and B, that is the superposition of A and B. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8).

Assertion

Ref	Expression
superpos	|- ((A e. Atoms /\ B e. Atoms /\ A =/= B) -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem superpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 2249	. . . 4 |- (E.y e. ~H E.z e. ~H ((y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))) <-> (E.y e. ~H (y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ E.z e. ~H (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))))
2		neeq1 2024	. . . . . . . . . 10 |- (A = (span` {y}) -> (A =/= B <-> (span` {y}) =/= B))
3		neeq2 2025	. . . . . . . . . 10 |- (B = (span` {z}) -> ((span` {y}) =/= B <-> (span` {y}) =/= (span` {z})))
4	2, 3	sylan9bb 599	. . . . . . . . 9 |- ((A = (span` {y}) /\ B = (span` {z})) -> (A =/= B <-> (span` {y}) =/= (span` {z})))
5	4	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B <-> (span` {y}) =/= (span` {z})))
6		hvaddcl 10514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y +h z) e. ~H)
7	6	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (y +h z) e. ~H)
8		hvaddeq0 10568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) = 0h <-> y = (-u1 .h z)))
9		sneq 3054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y = (-u1 .h z) -> {y} = {(-u1 .h z)})
10	9	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = (-u1 .h z) -> (span` {y}) = (span` {(-u1 .h z)}))
11		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
12	11	negcli 6526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -u1 e. CC
13		ax1ne0 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 =/= 0
14	11, 13	negne0i 6986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -u1 =/= 0
15		spansncol 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. ~H /\ -u1 e. CC /\ -u1 =/= 0) -> (span` {(-u1 .h z)}) = (span` {z}))
16	12, 14, 15	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (z e. ~H -> (span` {(-u1 .h z)}) = (span` {z}))
17	10, 16	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. ~H /\ y = (-u1 .h z)) -> (span` {y}) = (span` {z}))
18	17	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. ~H -> (y = (-u1 .h z) -> (span` {y}) = (span` {z})))
19	18	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y = (-u1 .h z) -> (span` {y}) = (span` {z})))
20	8, 19	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) = 0h -> (span` {y}) = (span` {z})))
21	20	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (y +h z) =/= 0h))
22	21	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (y +h z) =/= 0h)
23		spansna 11922	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y +h z) e. ~H /\ (y +h z) =/= 0h) -> (span` {(y +h z)}) e. Atoms)
24	7, 22, 23	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) e. Atoms)
25	24	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) e. Atoms)
26	25	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) e. Atoms)
27		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A = (span` {y}) -> ((span` {(y +h z)}) = A <-> (span` {(y +h z)}) = (span` {y})))
28	27	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A = (span` {y}) -> ((span` {(y +h z)}) = A -> (span` {(y +h z)}) = (span` {y})))
29		spansneleqi 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y +h z) e. ~H -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> (y +h z) e. (span` {y})))
30	6, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> (y +h z) e. (span` {y})))
31		elspansn 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. ~H -> ((y +h z) e. (span` {y}) <-> E.v e. CC (y +h z) = (v .h y)))
32	31	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) e. (span` {y}) <-> E.v e. CC (y +h z) = (v .h y)))
33		addcl 6454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((v e. CC /\ -u1 e. CC) -> (v + -u1) e. CC)
34	12, 33	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (v e. CC -> (v + -u1) e. CC)
35	34	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h y)) -> (v + -u1) e. CC)
36		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. CC /\ y e. ~H) -> (v .h y) e. ~H)
37	36	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((y e. ~H /\ v e. CC) -> (v .h y) e. ~H)
38	37	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (v .h y) e. ~H)
39		simpll 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> y e. ~H)
40		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> z e. ~H)
41		hvsubadd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((v .h y) e. ~H /\ y e. ~H /\ z e. ~H) -> (((v .h y) -h y) = z <-> (y +h z) = (v .h y)))
42	38, 39, 40, 41	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (((v .h y) -h y) = z <-> (y +h z) = (v .h y)))
43	42	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h y)) -> ((v .h y) -h y) = z)
44		hvsubval 10518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((v .h y) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((v .h y) -h y) = ((v .h y) +h (-u1 .h y)))
45	36, 44	sylancom 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. CC /\ y e. ~H) -> ((v .h y) -h y) = ((v .h y) +h (-u1 .h y)))
46		ax-hvdistr2 10511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((v e. CC /\ -u1 e. CC /\ y e. ~H) -> ((v + -u1) .h y) = ((v .h y) +h (-u1 .h y)))
47	12, 46	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. CC /\ y e. ~H) -> ((v + -u1) .h y) = ((v .h y) +h (-u1 .h y)))
48	45, 47	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((v e. CC /\ y e. ~H) -> ((v .h y) -h y) = ((v + -u1) .h y))
49	48	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. ~H /\ v e. CC) -> ((v .h y) -h y) = ((v + -u1) .h y))
50	49	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> ((v .h y) -h y) = ((v + -u1) .h y))
51	50	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h y)) -> ((v .h y) -h y) = ((v + -u1) .h y))
52	43, 51	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h y)) -> z = ((v + -u1) .h y))
53		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (w = (v + -u1) -> (w .h y) = ((v + -u1) .h y))
54	53	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (w = (v + -u1) -> (z = (w .h y) <-> z = ((v + -u1) .h y)))
55	54	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((v + -u1) e. CC /\ z = ((v + -u1) .h y)) -> E.w e. CC z = (w .h y))
56	35, 52, 55	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h y)) -> E.w e. CC z = (w .h y))
57	56	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (v e. CC -> ((y +h z) = (v .h y) -> E.w e. CC z = (w .h y))))
58	57	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (E.v e. CC (y +h z) = (v .h y) -> E.w e. CC z = (w .h y)))
59	32, 58	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) e. (span` {y}) -> E.w e. CC z = (w .h y)))
60	30, 59	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> E.w e. CC z = (w .h y)))
61		elspansn 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. ~H -> (z e. (span` {y}) <-> E.w e. CC z = (w .h y)))
62	61	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (z e. (span` {y}) <-> E.w e. CC z = (w .h y)))
63	60, 62	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> z e. (span` {y})))
64	63	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ z =/= 0h) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> z e. (span` {y})))
65		spansneleq 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ z =/= 0h) -> (z e. (span` {y}) -> (span` {z}) = (span` {y})))
66		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((span` {z}) = (span` {y}) <-> (span` {y}) = (span` {z}))
67	65, 66	syl6ib 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ z =/= 0h) -> (z e. (span` {y}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
68	67	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ z =/= 0h) -> (z e. (span` {y}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
69	64, 68	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ z =/= 0h) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {y}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
70	28, 69	sylan9r 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ z =/= 0h) /\ A = (span` {y})) -> ((span` {(y +h z)}) = A -> (span` {y}) = (span` {z})))
71	70	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ z =/= 0h) /\ A = (span` {y})) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= A))
72	71	adantlrl 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ A = (span` {y})) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= A))
73	72	adantrr 431	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= A))
74	73	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) =/= A)
75		eqeq2 1893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (B = (span` {z}) -> ((span` {(y +h z)}) = B <-> (span` {(y +h z)}) = (span` {z})))
76	75	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B = (span` {z}) -> ((span` {(y +h z)}) = B -> (span` {(y +h z)}) = (span` {z})))
77		spansneleqi 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y +h z) e. ~H -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> (y +h z) e. (span` {z})))
78	6, 77	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> (y +h z) e. (span` {z})))
79		elspansn 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (z e. ~H -> ((y +h z) e. (span` {z}) <-> E.v e. CC (y +h z) = (v .h z)))
80	79	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) e. (span` {z}) <-> E.v e. CC (y +h z) = (v .h z)))
81	34	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h z)) -> (v + -u1) e. CC)
82		hvmulcl 10515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((v e. CC /\ z e. ~H) -> (v .h z) e. ~H)
83	82	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((z e. ~H /\ v e. CC) -> (v .h z) e. ~H)
84	83	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (v .h z) e. ~H)
85		hvsubadd 10577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((v .h z) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H) -> (((v .h z) -h z) = y <-> (z +h y) = (v .h z)))
86	84, 40, 39, 85	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (((v .h z) -h z) = y <-> (z +h y) = (v .h z)))
87		ax-hvcom 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y +h z) = (z +h y))
88	87	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (y +h z) = (z +h y))
89	88	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> ((y +h z) = (v .h z) <-> (z +h y) = (v .h z)))
90	86, 89	bitr4d 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> (((v .h z) -h z) = y <-> (y +h z) = (v .h z)))
91	90	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h z)) -> ((v .h z) -h z) = y)
92		hvsubval 10518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- (((v .h z) e. ~H /\ z e. ~H) -> ((v .h z) -h z) = ((v .h z) +h (-u1 .h z)))
93	82, 92	sylancom 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. CC /\ z e. ~H) -> ((v .h z) -h z) = ((v .h z) +h (-u1 .h z)))
94		ax-hvdistr2 10511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((v e. CC /\ -u1 e. CC /\ z e. ~H) -> ((v + -u1) .h z) = ((v .h z) +h (-u1 .h z)))
95	12, 94	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((v e. CC /\ z e. ~H) -> ((v + -u1) .h z) = ((v .h z) +h (-u1 .h z)))
96	93, 95	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((v e. CC /\ z e. ~H) -> ((v .h z) -h z) = ((v + -u1) .h z))
97	96	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((z e. ~H /\ v e. CC) -> ((v .h z) -h z) = ((v + -u1) .h z))
98	97	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) -> ((v .h z) -h z) = ((v + -u1) .h z))
99	98	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h z)) -> ((v .h z) -h z) = ((v + -u1) .h z))
100	91, 99	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h z)) -> y = ((v + -u1) .h z))
101		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (w = (v + -u1) -> (w .h z) = ((v + -u1) .h z))
102	101	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (w = (v + -u1) -> (y = (w .h z) <-> y = ((v + -u1) .h z)))
103	102	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((v + -u1) e. CC /\ y = ((v + -u1) .h z)) -> E.w e. CC y = (w .h z))
104	81, 100, 103	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ v e. CC) /\ (y +h z) = (v .h z)) -> E.w e. CC y = (w .h z))
105	104	exp31 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (v e. CC -> ((y +h z) = (v .h z) -> E.w e. CC y = (w .h z))))
106	105	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (E.v e. CC (y +h z) = (v .h z) -> E.w e. CC y = (w .h z)))
107	80, 106	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((y +h z) e. (span` {z}) -> E.w e. CC y = (w .h z)))
108	78, 107	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> E.w e. CC y = (w .h z)))
109		elspansn 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (z e. ~H -> (y e. (span` {z}) <-> E.w e. CC y = (w .h z)))
110	109	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (y e. (span` {z}) <-> E.w e. CC y = (w .h z)))
111	108, 110	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> y e. (span` {z})))
112	111	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ y =/= 0h) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> y e. (span` {z})))
113		spansneleq 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. ~H /\ y =/= 0h) -> (y e. (span` {z}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
114	113	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ y =/= 0h) -> (y e. (span` {z}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
115	112, 114	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ y =/= 0h) -> ((span` {(y +h z)}) = (span` {z}) -> (span` {y}) = (span` {z})))
116	76, 115	sylan9r 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ y =/= 0h) /\ B = (span` {z})) -> ((span` {(y +h z)}) = B -> (span` {y}) = (span` {z})))
117	116	necon3d 2041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ y =/= 0h) /\ B = (span` {z})) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= B))
118	117	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ B = (span` {z})) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= B))
119	118	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> (span` {(y +h z)}) =/= B))
120	119	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) =/= B)
121		spanpr 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (span` {(y +h z)}) C_ (span` {y, z}))
122	121	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (span` {(y +h z)}) C_ (span` {y, z}))
123		opreq12 4891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A = (span` {y}) /\ B = (span` {z})) -> (A vH B) = ((span` {y}) vH (span` {z})))
124		spanun 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (({y} C_ ~H /\ {z} C_ ~H) -> (span` ({y} u. {z})) = ((span` {y}) +H (span` {z})))
125		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. ~H -> {y} C_ ~H)
126		snssi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z e. ~H -> {z} C_ ~H)
127	124, 125, 126	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (span` ({y} u. {z})) = ((span` {y}) +H (span` {z})))
128		df-pr 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- {y, z} = ({y} u. {z})
129	128	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (span` {y, z}) = (span` ({y} u. {z}))
130	127, 129	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (span` {y, z}) = ((span` {y}) +H (span` {z})))
131		spansnj 11227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((span` {y}) e. CH /\ z e. ~H) -> ((span` {y}) +H (span` {z})) = ((span` {y}) vH (span` {z})))
132		spansnch 11116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. ~H -> (span` {y}) e. CH)
133	131, 132	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {y}) +H (span` {z})) = ((span` {y}) vH (span` {z})))
134	130, 133	eqtr2d 1926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> ((span` {y}) vH (span` {z})) = (span` {y, z}))
135	123, 134	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (A vH B) = (span` {y, z}))
136	122, 135	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B))
137	136	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B))
138	137	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B))
139		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (span` {(y +h z)}) -> (x =/= A <-> (span` {(y +h z)}) =/= A))
140		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (span` {(y +h z)}) -> (x =/= B <-> (span` {(y +h z)}) =/= B))
141		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (span` {(y +h z)}) -> (x C_ (A vH B) <-> (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B)))
142	139, 140, 141	3anbi123d 1168	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (span` {(y +h z)}) -> ((x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)) <-> ((span` {(y +h z)}) =/= A /\ (span` {(y +h z)}) =/= B /\ (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B))))
143	142	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- (((span` {(y +h z)}) e. Atoms /\ ((span` {(y +h z)}) =/= A /\ (span` {(y +h z)}) =/= B /\ (span` {(y +h z)}) C_ (A vH B))) -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))
144	26, 74, 120, 138, 143	syl13anc 1102	. . . . . . . . 9 |- (((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) /\ (span` {y}) =/= (span` {z})) -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))
145	144	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> ((span` {y}) =/= (span` {z}) -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B))))
146	5, 145	sylbid 220	. . . . . . 7 |- ((((y e. ~H /\ z e. ~H) /\ (y =/= 0h /\ z =/= 0h)) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B))))
147	146	expl 420	. . . . . 6 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (((y =/= 0h /\ z =/= 0h) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))))
148		an4 564	. . . . . 6 |- (((y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))) <-> ((y =/= 0h /\ z =/= 0h) /\ (A = (span` {y}) /\ B = (span` {z}))))
149	147, 148	syl5ib 223	. . . . 5 |- ((y e. ~H /\ z e. ~H) -> (((y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))))
150	149	r19.23aivv 2217	. . . 4 |- (E.y e. ~H E.z e. ~H ((y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B))))
151	1, 150	sylbir 218	. . 3 |- ((E.y e. ~H (y =/= 0h /\ A = (span` {y})) /\ E.z e. ~H (z =/= 0h /\ B = (span` {z}))) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B))))
152		atom1d 11925	. . 3 |- (A e. Atoms <-> E.y e. ~H (y =/= 0h /\ A = (span` {y})))
153		atom1d 11925	. . 3 |- (B e. Atoms <-> E.z e. ~H (z =/= 0h /\ B = (span` {z})))
154	151, 152, 153	syl2anb 504	. 2 |- ((A e. Atoms /\ B e. Atoms) -> (A =/= B -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B))))
155	154	3impia 1064	1 |- ((A e. Atoms /\ B e. Atoms /\ A =/= B) -> E.x e. Atoms (x =/= A /\ x =/= B /\ x C_ (A vH B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   u. cun 2591   C_ wss 2593  {csn 3044  {cpr 3045  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423   -h cmv 10424  CHcch 10430   +H cph 10432  spancspn 10433   vH chj 10434  Atomscat 10465

This theorem is referenced by:  irredi 11966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-shsum 10906  df-span 10907  df-chj 10908  df-cv 11851  df-at 11910

Copyright terms: Public domain