HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  superpos Structured version   Unicode version

Theorem superpos 25903
Description: Superposition Principle. If  A and  B are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from  A and  B, that is the superposition of  A and  B. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem superpos
Dummy variables  y 
z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 25902 . . 3  |-  ( A  e. HAtoms 
<->  E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) ) )
2 atom1d 25902 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms 
<->  E. z  e.  ~H  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )
3 reeanv 2987 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( y  =/= 
0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  (
z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) ) )
4 an4 820 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) ) )
5 neeq1 2729 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  B
) )
6 neeq2 2731 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/= 
B  <->  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
75, 6sylan9bb 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) ) )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
9 hvaddcl 24559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  e.  ~H )
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  e.  ~H )
11 hvaddeq0 24616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  <->  y  =  ( -u 1  .h  z ) ) )
12 sneq 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  { y }  =  { (
-u 1  .h  z
) } )
1312fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { ( -u 1  .h  z ) } ) )
14 neg1cn 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  e.  CC
15 neg1ne0 10531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  =/=  0
16 spansncol 25116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( span `  {
( -u 1  .h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) )
1714, 15, 16mp3an23 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( span `  { ( -u
1  .h  z ) } )  =  (
span `  { z } ) )
1813, 17sylan9eqr 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =  ( -u 1  .h  z ) )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  =  ( -u
1  .h  z )  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  =  (
-u 1  .h  z
)  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2111, 20sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2221necon3d 2672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  =/=  0h )
)
2322imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  =/=  0h )
24 spansna 25899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  ~H  /\  ( y  +h  z
)  =/=  0h )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2510, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2726adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  e. HAtoms )
28 eqeq2 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
2928biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
30 spansneleqi 25117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { y } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
y } ) ) )
319, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } ) ) )
32 elspansn 25114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  y ) ) )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
34 addcl 9468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( v  + 
-u 1 )  e.  CC )
3514, 34mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  CC  ->  (
v  +  -u 1
)  e.  CC )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
37 hvmulcl 24560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
3837ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
3938adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y )  e.  ~H )
40 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  y  e.  ~H )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  z  e.  ~H )
42 hvsubadd 24624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4339, 40, 41, 42syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4443biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z )
45 hvsubval 24563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
4637, 45sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
47 ax-hvdistr2 24556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
4814, 47mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
4946, 48eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5049ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5150adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  y
) )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5344, 52eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
54 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5554eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( z  =  ( w  .h  y )  <-> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) ) )
5655rspcev 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
5736, 53, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
5857exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) ) )
5958rexlimdv 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6033, 59sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6131, 60syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
62 elspansn 25114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
z  e.  ( span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6461, 63sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
66 spansneleq 25118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { y } ) ) )
67 eqcom 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
span `  { z } )  =  (
span `  { y } )  <->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) )
6866, 67syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
6968adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7065, 69syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
7129, 70sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  A  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7271necon3d 2672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7372adantlrl 719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  A  =  (
span `  { y } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A ) )
7574imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A )
76 eqeq2 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
7776biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
78 spansneleqi 25117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { z } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
z } ) ) )
799, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } ) ) )
80 elspansn 25114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  z ) ) )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
8235ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
83 hvmulcl 24560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8483ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8584adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z )  e.  ~H )
86 hvsubadd 24624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
8785, 41, 40, 86syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
88 ax-hvcom 24548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
8988adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( y  +h  z )  =  ( z  +h  y ) )
9089eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z
)  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
9187, 90bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
9291biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y )
93 hvsubval 24563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
9483, 93sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
95 ax-hvdistr2 24556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9614, 95mp3an2 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9794, 96eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
9897ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
9998adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  z
) )
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
10192, 100eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
102 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
103102eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( y  =  ( w  .h  z )  <-> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) ) )
104103rspcev 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
10582, 101, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
106105exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) ) )
107106rexlimdv 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
10881, 107sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
10979, 108syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
110 elspansn 25114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
112109, 111sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
114 spansneleq 25118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
115114adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
116113, 115syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
11777, 116sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  B  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
118117necon3d 2672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
119118adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
120119adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B ) )
121120imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B )
122 spanpr 25128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  C_  ( span `  { y ,  z } ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( span `  {
y ,  z } ) )
124 oveq12 6202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
125 df-pr 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y ,  z }  =  ( { y }  u.  { z } )
126125fveq2i 5795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( span `  { y ,  z } )  =  (
span `  ( {
y }  u.  {
z } ) )
127 snssi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~H  ->  { y }  C_  ~H )
128 snssi 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  { z }  C_  ~H )
129 spanun 25093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { y }  C_  ~H  /\  { z } 
C_  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
130127, 128, 129syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
131126, 130syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
y ,  z } )  =  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) ) )
132 spansnch 25108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
133 spansnj 25195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e. 
CH  /\  z  e.  ~H )  ->  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
134132, 133sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  ( span `  {
z } ) ) )
135131, 134eqtr2d 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) )  =  ( span `  {
y ,  z } ) )
136124, 135sylan9eqr 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  vH  B )  =  (
span `  { y ,  z } ) )
137123, 136sseqtr4d 3494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
138137adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) )
139138adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
140 neeq1 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  A  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
141 neeq1 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  B  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
142 sseq1 3478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  <->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) ) )
143140, 141, 1423anbi123d 1290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( ( x  =/= 
A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
144143rspcev 3172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms  /\  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B
) ) )
14527, 75, 121, 139, 144syl13anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
146145ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1478, 146sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
148147expl 618 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1494, 148syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  /\  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
150149rexlimivv 2945 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1513, 150sylbir 213 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1521, 2, 151syl2anb 479 . 2  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1531523impia 1185 1  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796    u. cun 3427    C_ wss 3429   {csn 3978   {cpr 3980   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389   -ucneg 9700   ~Hchil 24466    +h cva 24467    .h csm 24468   0hc0v 24471    -h cmv 24472   CHcch 24476    +H cph 24478   spancspn 24479    vH chj 24480  HAtomscat 24512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cc 8708  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465  ax-mulf 9466  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvmulass 24554  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557  ax-hfi 24626  ax-his1 24629  ax-his2 24630  ax-his3 24631  ax-his4 24632  ax-hcompl 24749
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-iin 4275  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-supp 6794  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-fsupp 7725  df-fi 7765  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-acn 8216  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ress 14292  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-starv 14364  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-unif 14372  df-hom 14373  df-cco 14374  df-rest 14472  df-topn 14473  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-topgen 14493  df-pt 14494  df-prds 14497  df-xrs 14551  df-qtop 14556  df-imas 14557  df-xps 14559  df-mre 14635  df-mrc 14636  df-acs 14638  df-mnd 15526  df-submnd 15576  df-mulg 15659  df-cntz 15946  df-cmn 16392  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-cnfld 17937  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-topsp 18632  df-cld 18748  df-ntr 18749  df-cls 18750  df-nei 18827  df-cn 18956  df-cnp 18957  df-lm 18958  df-haus 19044  df-tx 19260  df-hmeo 19453  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-xms 20020  df-ms 20021  df-tms 20022  df-cfil 20891  df-cau 20892  df-cmet 20893  df-grpo 23823  df-gid 23824  df-ginv 23825  df-gdiv 23826  df-ablo 23914  df-subgo 23934  df-vc 24069  df-nv 24115  df-va 24118  df-ba 24119  df-sm 24120  df-0v 24121  df-vs 24122  df-nmcv 24123  df-ims 24124  df-dip 24241  df-ssp 24265  df-ph 24358  df-cbn 24409  df-hnorm 24515  df-hba 24516  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-hcau 24520  df-sh 24754  df-ch 24769  df-oc 24800  df-ch0 24801  df-shs 24856  df-span 24857  df-chj 24858  df-pjh 24943  df-cv 25828  df-at 25887
This theorem is referenced by:  chirredi  25943
  Copyright terms: Public domain W3C validator