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Theorem supeq3 7695
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Scott Fenton, 13-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
supeq3  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )

Proof of Theorem supeq3
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq 4291 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
x R y  <->  x S
y ) )
21notbid 294 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  ( -.  x R y  <->  -.  x S y ) )
32ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  <->  A. y  e.  A  -.  x S y ) )
4 breq 4291 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  (
y R x  <->  y S x ) )
5 breq 4291 . . . . . . . 8  |-  ( R  =  S  ->  (
y R z  <->  y S
z ) )
65rexbidv 2734 . . . . . . 7  |-  ( R  =  S  ->  ( E. z  e.  A  y R z  <->  E. z  e.  A  y S
z ) )
74, 6imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( R  =  S  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
87ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( R  =  S  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S
z ) ) )
93, 8anbi12d 705 . . . 4  |-  ( R  =  S  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) ) )
109rabbidv 2962 . . 3  |-  ( R  =  S  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
1110unieqd 4098 . 2  |-  ( R  =  S  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  ( y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) } )
12 df-sup 7687 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
13 df-sup 7687 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  S )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x S y  /\  A. y  e.  B  (
y S x  ->  E. z  e.  A  y S z ) ) }
1411, 12, 133eqtr4g 2498 1  |-  ( R  =  S  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  B ,  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   supcsup 7686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-uni 4089  df-br 4290  df-sup 7687
This theorem is referenced by: (None)
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