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Theorem supeq123d 7699
Description: Equality deduction for supremum. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
supeq123d.a  |-  ( ph  ->  A  =  D )
supeq123d.b  |-  ( ph  ->  B  =  E )
supeq123d.c  |-  ( ph  ->  C  =  F )
Assertion
Ref Expression
supeq123d  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  B ,  C )  =  sup ( D ,  E ,  F )
)

Proof of Theorem supeq123d
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq123d.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  E )
2 supeq123d.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =  D )
3 supeq123d.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =  F )
43breqd 4302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x C y  <-> 
x F y ) )
54notbid 294 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  x C y  <->  -.  x F
y ) )
62, 5raleqbidv 2930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  -.  x C y  <->  A. y  e.  D  -.  x F y ) )
73breqd 4302 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y C x  <-> 
y F x ) )
83breqd 4302 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y C z  <-> 
y F z ) )
92, 8rexeqbidv 2931 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  y C z  <->  E. z  e.  D  y F z ) )
107, 9imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y C x  ->  E. z  e.  A  y C
z )  <->  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) )
111, 10raleqbidv 2930 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( y C x  ->  E. z  e.  A  y C
z )  <->  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) )
126, 11anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) )  <-> 
( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) ) )
131, 12rabeqbidv 2966 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }  =  { x  e.  E  |  ( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F z ) ) } )
1413unieqd 4100 . 2  |-  ( ph  ->  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }  =  U. {
x  e.  E  | 
( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  ( y F x  ->  E. z  e.  D  y F
z ) ) } )
15 df-sup 7690 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  C )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x C y  /\  A. y  e.  B  (
y C x  ->  E. z  e.  A  y C z ) ) }
16 df-sup 7690 . 2  |-  sup ( D ,  E ,  F )  =  U. { x  e.  E  |  ( A. y  e.  D  -.  x F y  /\  A. y  e.  E  (
y F x  ->  E. z  e.  D  y F z ) ) }
1714, 15, 163eqtr4g 2499 1  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  B ,  C )  =  sup ( D ,  E ,  F )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   U.cuni 4090   class class class wbr 4291   supcsup 7689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-uni 4091  df-br 4292  df-sup 7690
This theorem is referenced by:  wsuceq123  27750  wlimeq12  27755  aomclem8  29412
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