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Theorem supadd 26138
Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul 9932. (Contributed by Brendan Leahy, 26-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
supadd.a1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supadd.a2  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
supadd.a3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
supadd.b1  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
supadd.b2  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
supadd.b3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )
supadd.c  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  +  b ) }
Assertion
Ref Expression
supadd  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, b, v, A   
x, B, y, z, b, v    x, C    ph, z, b, v
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    C( y, z, v, b)

Proof of Theorem supadd
Dummy variables  w  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supadd.a1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 supadd.a2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
3 supadd.a3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
4 supadd.b1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
5 supadd.b2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
6 supadd.b3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )
7 suprcl 9924 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
84, 5, 6, 7syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) }  =  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) }
101, 2, 3, 8, 9supaddc 26137 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) } ,  RR ,  <  ) )
111sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  RR )
1211recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  CC )
138adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1413recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  CC )
1512, 14addcomd 9224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
1615eqeq2d 2415 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) ) )
1716rexbidva 2683 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) ) )
1817abbidv 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) }  =  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } )
1918supeq1d 7409 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( a  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } ,  RR ,  <  ) )
2010, 19eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } ,  RR ,  <  ) )
21 vex 2919 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
22 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  <->  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) ) )
2322rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  <->  E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) ) )
2421, 23elab 3042 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  <->  E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
254adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  B  C_  RR )
265adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
276adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x
)
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a ) }  =  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a ) }
2925, 26, 27, 11, 28supaddc 26137 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  =  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a ) } ,  RR ,  <  ) )
304sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
3130adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  RR )
3231recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  CC )
3311adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  a  e.  RR )
3433recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  a  e.  CC )
3532, 34addcomd 9224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
b  +  a )  =  ( a  +  b ) )
3635eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
z  =  ( b  +  a )  <->  z  =  ( a  +  b ) ) )
3736rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) ) )
3837abbidv 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a ) }  =  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } )
3938supeq1d 7409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( b  +  a ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } ,  RR ,  <  ) )
4029, 39eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  =  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } ,  RR ,  <  ) )
41 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a  +  b )  <->  w  =  ( a  +  b ) ) )
4241rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b )  <->  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) ) )
4321, 42elab 3042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  <->  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
44 rspe 2727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  A  /\  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )  ->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
45 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  a  ->  (
v  +  b )  =  ( a  +  b ) )
4645eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  =  a  ->  (
z  =  ( v  +  b )  <->  z  =  ( a  +  b ) ) )
4746rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  a  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( v  +  b )  <->  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) ) )
4847cbvrexv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  +  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) )
49412rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) ) )
5048, 49syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  w  ->  ( E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  +  b )  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) ) )
51 supadd.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  { z  |  E. v  e.  A  E. b  e.  B  z  =  ( v  +  b ) }
5221, 50, 51elab2 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  <->  E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
5344, 52sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  A  /\  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )  ->  w  e.  C )
5453ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  A  ->  ( E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b )  ->  w  e.  C )
)
551sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  a  e.  RR ) )
564sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( b  e.  B  ->  b  e.  RR ) )
5755, 56anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  e.  RR  /\  b  e.  RR )
) )
58 readdcl 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  +  b )  e.  RR )
5957, 58syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  +  b )  e.  RR ) )
60 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  +  b )  e.  RR  ->  (
w  =  ( a  +  b )  ->  w  e.  RR )
)
6159, 60syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  +  b )  ->  w  e.  RR )
) )
6261rexlimdvv 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b )  ->  w  e.  RR ) )
6352, 62syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  e.  RR ) )
6463ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  C_  RR )
65 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  +  b )  e. 
_V
6665isseti 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  E. w  w  =  ( a  +  b )
6766rgenw 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  +  b )
68 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  A. b  e.  B  E. w  w  =  (
a  +  b ) )  ->  E. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  +  b ) )
695, 67, 68sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  E. b  e.  B  E. w  w  =  ( a  +  b ) )
70 rexcom4 2935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. b  e.  B  E. w  w  =  (
a  +  b )  <->  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
7169, 70sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
7271ralrimivw 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. a  e.  A  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
73 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. a  e.  A  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )  ->  E. a  e.  A  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
742, 72, 73syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
75 rexcom4 2935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. a  e.  A  E. w E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b )  <->  E. w E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
7674, 75sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  E. w E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
77 n0 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
7852exbii 1589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w  w  e.  C  <->  E. w E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
7977, 78bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. w E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b ) )
8076, 79sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  =/=  (/) )
81 suprcl 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
821, 2, 3, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8382, 8readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )
8411adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  e.  RR )
8530adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  e.  RR )
8682adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
878adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  ->  sup ( B ,  RR ,  <  )  e.  RR )
881, 2, 33jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
89 suprub 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
9088, 89sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
9190adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
a  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
924, 5, 63jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x ) )
93 suprub 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  B  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  B  y  <_  x )  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
9492, 93sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  b  e.  B )  ->  b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
9594adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
b  <_  sup ( B ,  RR ,  <  ) )
9684, 85, 86, 87, 91, 95le2addd 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  B ) )  -> 
( a  +  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
9796ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
a  +  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
98 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( a  +  b )  ->  (
w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  ( a  +  b )  <_ 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
9998biimprcd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  +  b )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  =  ( a  +  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
10097, 99syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  (
w  =  ( a  +  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
101100rexlimdvv 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b )  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
10252, 101syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
103102ralrimiv 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
104 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  (
w  <_  x  <->  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
105104ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  ->  ( A. w  e.  C  w  <_  x  <->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
106105rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  e.  RR  /\  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )
10783, 103, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )
108 suprub 9925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )  /\  w  e.  C )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
109108ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x
)  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
11064, 80, 107, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  C  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
11154, 110sylan9r 640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  w  =  ( a  +  b )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
11243, 111syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
113112ralrimiv 2748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
11433, 31readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
a  +  b )  e.  RR )
115 eleq1a 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  b )  e.  RR  ->  (
z  =  ( a  +  b )  -> 
z  e.  RR ) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  A )  /\  b  e.  B )  ->  (
z  =  ( a  +  b )  -> 
z  e.  RR ) )
117116rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b )  -> 
z  e.  RR ) )
118117abssdv 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  C_  RR )
11965isseti 2922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E. z 
z  =  ( a  +  b )
120119rgenw 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. b  e.  B  E. z 
z  =  ( a  +  b )
121 r19.2z 3677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  A. b  e.  B  E. z  z  =  (
a  +  b ) )  ->  E. b  e.  B  E. z 
z  =  ( a  +  b ) )
1225, 120, 121sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  E. b  e.  B  E. z  z  =  ( a  +  b ) )
123 rexcom4 2935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  B  E. z  z  =  (
a  +  b )  <->  E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) )
124122, 123sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) )
125 abn0 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  =/=  (/)  <->  E. z E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) )
126124, 125sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  =/=  (/) )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  =/=  (/) )
128 suprcl 9924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x
)  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
12964, 80, 107, 128syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
130129adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )
131 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( w  <_  x 
<->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
132131ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  x  <->  A. w  e.  {
z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
133132rspcev 3012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  x
)
134130, 113, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  x )
135 suprleub 9928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } 
C_  RR  /\  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) }  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  x )  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
136118, 127, 134, 130, 135syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
137113, 136mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  sup ( { z  |  E. b  e.  B  z  =  ( a  +  b ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
13840, 137eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
139 breq1 4175 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  ( w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
140138, 139syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
141140rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  w  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
14224, 141syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  ->  w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
143142ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
14413, 11readdcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  e.  RR )
145 eleq1a 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  e.  RR  ->  ( z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  z  e.  RR ) )
146144, 145syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  (
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  z  e.  RR ) )
147146rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  ->  z  e.  RR ) )
148147abssdv 3377 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  C_  RR )
149 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  e.  _V
150149isseti 2922 . . . . . . . . 9  |-  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )
151150rgenw 2733 . . . . . . . 8  |-  A. a  e.  A  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )
152 r19.2z 3677 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )  ->  E. a  e.  A  E. z 
z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
1532, 151, 152sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
154 rexcom4 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  A  E. z  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a )  <->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
155153, 154sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
156 abn0 3606 . . . . . 6  |-  ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  =/=  (/)  <->  E. z E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) )
157155, 156sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  =/=  (/) )
158131ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  x  <->  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
159158rspcev 3012 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  x
)
160129, 143, 159syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  x )
161 suprleub 9928 . . . . 5  |-  ( ( ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  C_  RR  /\  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) }  =/=  (/) 
/\  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  x )  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  {
z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
162148, 157, 160, 129, 161syl31anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } w  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) ) )
163143, 162mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { z  |  E. a  e.  A  z  =  ( sup ( B ,  RR ,  <  )  +  a ) } ,  RR ,  <  )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
16420, 163eqbrtrd 4192 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
165 suprleub 9928 . . . 4  |-  ( ( ( C  C_  RR  /\  C  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. w  e.  C  w  <_  x )  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  e.  RR )  ->  ( sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
16664, 80, 107, 83, 165syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <->  A. w  e.  C  w  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) )
167103, 166mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( C ,  RR ,  <  )  <_ 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) )
16883, 129letri3d 9171 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  )  <->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  <_  sup ( C ,  RR ,  <  )  /\  sup ( C ,  RR ,  <  )  <_  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
169164, 167, 168mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  +  sup ( B ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( C ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   supcsup 7403   RRcr 8945    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  ismblfin  26146  itg2addnc  26158
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250
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