MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup3 Structured version   Unicode version

Theorem sup3 10402
Description: A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
sup3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup3
StepHypRef Expression
1 ssel 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
2 leloe 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
32expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  RR  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) ) )
41, 3syl9 71 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) ) ) )
54imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) )
65ralbidva 2844 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
76rexbidva 2865 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
87anbi2d 703 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  <->  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
98pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
10 3anass 969 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
11 3anass 969 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( A  C_  RR  /\  ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) ) ) )
129, 10, 113bitr4i 277 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  <->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
13 sup2 10401 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
1412, 13sylbi 195 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713
This theorem is referenced by:  infm3  10404  suprcl  10405  suprub  10406  suprlub  10407  sup3ii  10414  xrsupsslem  11384
  Copyright terms: Public domain W3C validator