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Theorem sup2 10498
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 9751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
21adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
4 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
5 ltp1 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
61ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR ) )
7 lttr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
873expb 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( (
y  <  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
96, 8sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
105, 9sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  e.  RR )  ->  y  < 
( x  +  1 ) ) )
1110exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
( x  e.  RR  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1211com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1312pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
15 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
165, 15syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  =  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  =  x  ->  y  <  (
x  +  1 ) ) )
1814, 17jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
204, 19syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2322a2d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( y  <  x  \/  y  =  x
) )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2423ralimdv2 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2524expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
263, 25jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
27 ovex 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +  1 )  e. 
_V
28 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
z  e.  RR  <->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
29 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3128, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3227, 31spcev 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) )
3326, 32syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
3433exlimdv 1700 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
35 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
36 breq2 4451 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
3736ralbidv 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  x ) )
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
3938cbvexv 1997 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4034, 39syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
41 df-rex 2820 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
42 df-rex 2820 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4340, 41, 423imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4443adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4544imdistani 690 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )
)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
46 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
47 df-3an 975 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  <->  ( ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
) )
4845, 46, 473imtr4i 266 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  -> 
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
49 axsup 9659 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
5048, 49syl 16 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   RRcr 9490   1c1 9492    + caddc 9494    < clt 9627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807
This theorem is referenced by:  sup3  10499  nnunb  10790
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