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Theorem sup2 10565
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
21adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
4 ssel 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
5 ltp1 10442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
61ancli 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR ) )
7 lttr 9709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
873expb 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( (
y  <  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
96, 8sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
105, 9sylan2i 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  e.  RR )  ->  y  < 
( x  +  1 ) ) )
1110exp4b 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
( x  e.  RR  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1211com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1312pm2.43d 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
1413imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
15 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
165, 15syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  =  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  =  x  ->  y  <  (
x  +  1 ) ) )
1814, 17jaod 381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
1918ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
204, 19syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2120com23 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2221imp 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2322a2d 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( y  <  x  \/  y  =  x
) )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2423ralimdv2 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2524expimpd 606 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
263, 25jcad 535 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
27 ovex 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +  1 )  e. 
_V
28 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
z  e.  RR  <->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
29 breq2 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3128, 30anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3227, 31spcev 3179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) )
3326, 32syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
3433exlimdv 1771 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
35 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
36 breq2 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
3736ralbidv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  x ) )
3835, 37anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
3938cbvexv 2080 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4034, 39syl6ib 229 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
41 df-rex 2788 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
42 df-rex 2788 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4340, 41, 423imtr4g 273 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4443adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4544imdistani 694 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )
)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
46 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
47 df-3an 984 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  <->  ( ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
) )
4845, 46, 473imtr4i 269 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  -> 
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
49 axsup 9708 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
5048, 49syl 17 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    C_ wss 3442   (/)c0 3767   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RRcr 9537   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862
This theorem is referenced by:  sup3  10566  nnunb  10865
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