MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sup2 Structured version   Unicode version

Theorem sup2 10278
Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
sup2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem sup2
StepHypRef Expression
1 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
21adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR )
32a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
4 ssel 3345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
5 ltp1 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <  ( x  +  1 ) )
61ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR ) )
7 lttr 9443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
873expb 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( (
y  <  x  /\  x  <  ( x  + 
1 ) )  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
96, 8sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  <  ( x  +  1 ) )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
105, 9sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  /\  x  e.  RR )  ->  y  < 
( x  +  1 ) ) )
1110exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
( x  e.  RR  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1211com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
1312pm2.43d 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( y  <  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
1413imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
15 breq1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <  ( x  +  1 )  <->  x  <  ( x  +  1 ) ) )
165, 15syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
y  =  x  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  =  x  ->  y  <  (
x  +  1 ) ) )
1814, 17jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
1918ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
204, 19syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  (
x  e.  RR  ->  ( ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  RR  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
y  e.  A  -> 
( ( y  < 
x  \/  y  =  x )  ->  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2322a2d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( y  <  x  \/  y  =  x
) )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
2423ralimdv2 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x
)  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
2524expimpd 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
263, 25jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
27 ovex 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +  1 )  e. 
_V
28 eleq1 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
z  e.  RR  <->  ( x  +  1 )  e.  RR ) )
29 breq2 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3029ralbidv 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) )
3128, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  + 
1 )  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( (
x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  +  1 ) ) ) )
3227, 31spcev 3059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  ( x  + 
1 ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) )
3326, 32syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
3433exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z ) ) )
35 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  RR  <->  x  e.  RR ) )
36 breq2 4291 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
y  <  z  <->  y  <  x ) )
3736ralbidv 2730 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <  z  <->  A. y  e.  A  y  <  x ) )
3835, 37anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  RR  /\ 
A. y  e.  A  y  <  z )  <->  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
3938cbvexv 1972 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( z  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  z )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4034, 39syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) ) )
41 df-rex 2716 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
42 df-rex 2716 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. x ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4340, 41, 423imtr4g 270 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4443adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
4544imdistani 690 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  (
y  <  x  \/  y  =  x )
)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
46 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  <->  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
47 df-3an 967 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  <->  ( ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/) )  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
) )
4845, 46, 473imtr4i 266 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  -> 
( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x ) )
49 axsup 9442 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
5048, 49syl 16 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  ( y  < 
x  \/  y  =  x ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  sup3  10279  nnunb  10567
  Copyright terms: Public domain W3C validator