Theorem sup2 7260

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent).

Assertion

Ref	Expression
sup2	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR -> (x + 1) e. RR)
2	1	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> (x + 1) e. RR)
3	2	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> ((x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> (x + 1) e. RR))
4		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
5		axlttrn 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((y e. RR /\ x e. RR /\ (x + 1) e. RR) -> ((y < x /\ x < (x + 1)) -> y < (x + 1)))
6	5	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. RR /\ (x e. RR /\ (x + 1) e. RR)) -> ((y < x /\ x < (x + 1)) -> y < (x + 1)))
7	1	ancli 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. RR -> (x e. RR /\ (x + 1) e. RR))
8	6, 7	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < x /\ x < (x + 1)) -> y < (x + 1)))
9		ltp1 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. RR -> x < (x + 1))
10	8, 9	sylan2i 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < x /\ x e. RR) -> y < (x + 1)))
11	10	exp4b 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. RR -> (x e. RR -> (y < x -> (x e. RR -> y < (x + 1)))))
12	11	com34 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. RR -> (x e. RR -> (x e. RR -> (y < x -> y < (x + 1)))))
13	12	pm2.43d 79	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. RR -> (x e. RR -> (y < x -> y < (x + 1))))
14	13	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < x -> y < (x + 1)))
15		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y = x -> (y < (x + 1) <-> x < (x + 1)))
16	15, 9	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. RR -> (y = x -> y < (x + 1)))
17	16	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y = x -> y < (x + 1)))
18	14, 17	jaod 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> ((y < x \/ y = x) -> y < (x + 1)))
19	18	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. RR -> (x e. RR -> ((y < x \/ y = x) -> y < (x + 1))))
20	4, 19	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A C_ RR -> (y e. A -> (x e. RR -> ((y < x \/ y = x) -> y < (x + 1)))))
21	20	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A C_ RR -> (x e. RR -> (y e. A -> ((y < x \/ y = x) -> y < (x + 1)))))
22	21	imp 377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (y e. A -> ((y < x \/ y = x) -> y < (x + 1))))
23	22	a2d 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> ((y e. A -> (y < x \/ y = x)) -> (y e. A -> y < (x + 1))))
24	23	alimdv 1668	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y(y e. A -> (y < x \/ y = x)) -> A.y(y e. A -> y < (x + 1))))
25		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. A (y < x \/ y = x) <-> A.y(y e. A -> (y < x \/ y = x)))
26		df-ral 2109	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.y e. A y < (x + 1) <-> A.y(y e. A -> y < (x + 1)))
27	24, 25, 26	3imtr4g 612	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A (y < x \/ y = x) -> A.y e. A y < (x + 1)))
28	27	expimpd 404	. . . . . . . . . 10 |- (A C_ RR -> ((x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> A.y e. A y < (x + 1)))
29	3, 28	jcad 661	. . . . . . . . 9 |- (A C_ RR -> ((x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> ((x + 1) e. RR /\ A.y e. A y < (x + 1))))
30		oprex 4907	. . . . . . . . . 10 |- (x + 1) e. _V
31		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (x + 1) -> (z e. RR <-> (x + 1) e. RR))
32		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (x + 1) -> (y < z <-> y < (x + 1)))
33	32	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (x + 1) -> (A.y e. A y < z <-> A.y e. A y < (x + 1)))
34	31, 33	anbi12d 690	. . . . . . . . . 10 |- (z = (x + 1) -> ((z e. RR /\ A.y e. A y < z) <-> ((x + 1) e. RR /\ A.y e. A y < (x + 1))))
35	30, 34	cla4ev 2371	. . . . . . . . 9 |- (((x + 1) e. RR /\ A.y e. A y < (x + 1)) -> E.z(z e. RR /\ A.y e. A y < z))
36	29, 35	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR -> ((x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> E.z(z e. RR /\ A.y e. A y < z)))
37	36	19.23adv 1584	. . . . . . 7 |- (A C_ RR -> (E.x(x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> E.z(z e. RR /\ A.y e. A y < z)))
38		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (z e. RR <-> x e. RR))
39		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (z = x -> (y < z <-> y < x))
40	39	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (z = x -> (A.y e. A y < z <-> A.y e. A y < x))
41	38, 40	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (z = x -> ((z e. RR /\ A.y e. A y < z) <-> (x e. RR /\ A.y e. A y < x)))
42	41	cbvexv 1697	. . . . . . 7 |- (E.z(z e. RR /\ A.y e. A y < z) <-> E.x(x e. RR /\ A.y e. A y < x))
43	37, 42	syl6ib 229	. . . . . 6 |- (A C_ RR -> (E.x(x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> E.x(x e. RR /\ A.y e. A y < x)))
44		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x) <-> E.x(x e. RR /\ A.y e. A (y < x \/ y = x)))
45		df-rex 2110	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x(x e. RR /\ A.y e. A y < x))
46	43, 44, 45	3imtr4g 612	. . . . 5 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x) -> E.x e. RR A.y e. A y < x))
47	46	adantr 425	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x) -> E.x e. RR A.y e. A y < x))
48	47	imdistani 491	. . 3 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> ((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x))
49		df-3an 860	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)) <-> ((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)))
50		df-3an 860	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) <-> ((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x))
51	48, 49, 50	3imtr4i 236	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> (A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x))
52		axsup 6676	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
53	51, 52	syl 12	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A (y < x \/ y = x)) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   < clt 6653

This theorem is referenced by:  sup3 7261  nnunb 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain