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Theorem sup0riota 7997
Description: The supremum of an empty set is the smallest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sup0riota  |-  ( R  Or  A  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y

Proof of Theorem sup0riota
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  R  Or  A )
21supval2 7987 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  (/)  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z ) ) ) )
3 ral0 3865 . . . . . 6  |-  A. y  e.  (/)  -.  x R y
43biantrur 514 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z )  <->  ( A. y  e.  (/)  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z ) ) )
5 rex0 3737 . . . . . . 7  |-  -.  E. z  e.  (/)  y R z
6 imnot 347 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. z  e.  (/)  y R z  ->  (
( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z )  <->  -.  y R x ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z )  <->  -.  y R x )
87ralbii 2823 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z )  <->  A. y  e.  A  -.  y R x )
94, 8bitr3i 259 . . . 4  |-  ( ( A. y  e.  (/)  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z ) )  <->  A. y  e.  A  -.  y R x )
109a1i 11 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  (
( A. y  e.  (/)  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z ) )  <->  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
1110riotabidv 6272 . 2  |-  ( R  Or  A  ->  ( iota_ x  e.  A  ( A. y  e.  (/)  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  (/)  y R z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
122, 11eqtrd 2505 1  |-  ( R  Or  A  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   A.wral 2756   E.wrex 2757   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    Or wor 4759   iota_crio 6269   supcsup 7972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-po 4760  df-so 4761  df-iota 5553  df-riota 6270  df-sup 7974
This theorem is referenced by:  sup0  7998
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