Theorem sup0 7980

Description: The supremum of an empty set under a base set which has a unique smallest element is the smallest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sup0	|- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = X )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   x, X, y

Proof of Theorem sup0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sup0riota 7979	. . 3 |- ( R Or A -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )
2	1	3ad2ant1 1029	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) )
3		simp2r 1035	. . 3 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> A. y e. A -. y R X )
4		simpl 459	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) -> X e. A )
5	4	anim1i 572	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) )
6	5	3adant1 1026	. . . 4 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) )
7		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( y R x <-> y R X ) )
8	7	notbid 296	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( -. y R x <-> -. y R X ) )
9	8	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = X -> ( A. y e. A -. y R x <-> A. y e. A -. y R X ) )
10	9	riota2 6274	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( A. y e. A -. y R X <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X ) )
11	6, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( A. y e. A -. y R X <-> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X ) )
12	3, 11	mpbid 214	. 2 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> ( iota_ x e. A A. y e. A -. y R x ) = X )
13	2, 12	eqtrd 2485	1 |- ( ( R Or A /\ ( X e. A /\ A. y e. A -. y R X ) /\ E! x e. A A. y e. A -. y R x ) -> sup ( (/) , A , R ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   Or wor 4754   iota_crio 6251   supcsup 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-po 4755  df-so 4756  df-iota 5546  df-riota 6252  df-sup 7956

This theorem is referenced by:  infempty  8022