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Theorem sup0 7980
Description: The supremum of an empty set under a base set which has a unique smallest element is the smallest element of the base set. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sup0  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  X )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y    x, X, y

Proof of Theorem sup0
StepHypRef Expression
1 sup0riota 7979 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
213ad2ant1 1029 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  (
iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
3 simp2r 1035 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  A. y  e.  A  -.  y R X )
4 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  ->  X  e.  A )
54anim1i 572 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  ( X  e.  A  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
653adant1 1026 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  ( X  e.  A  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x ) )
7 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
y R x  <->  y R X ) )
87notbid 296 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R X ) )
98ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  -.  y R X ) )
109riota2 6274 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R X  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  =  X ) )
116, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  ( A. y  e.  A  -.  y R X  <->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  =  X ) )
123, 11mpbid 214 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  ( iota_ x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  =  X )
132, 12eqtrd 2485 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( X  e.  A  /\  A. y  e.  A  -.  y R X )  /\  E! x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y R x )  ->  sup ( (/) ,  A ,  R )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E!wreu 2739   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    Or wor 4754   iota_crio 6251   supcsup 7954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-po 4755  df-so 4756  df-iota 5546  df-riota 6252  df-sup 7956
This theorem is referenced by:  infempty  8022
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