MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss2 Structured version   Unicode version

Theorem sumss2 13202
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumss2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    C( k)    M( k)

Proof of Theorem sumss2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A  C_  B )
2 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
3 iftrue 3796 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
5 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
65nfel1 2588 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
7 csbeq1a 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
87eleq1d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
96, 8rspc 3066 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
109impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
114, 10eqeltrd 2516 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
122, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
13 eldifn 3478 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
14 iffalse 3798 . . . . . 6  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1615adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
17 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M
) )
181, 12, 16, 17sumss 13200 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
19 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A  C_  B
)
20 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
2120, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
2215adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
2419, 21, 22, 23fsumss 13201 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
2518, 24jaodan 783 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  = 
sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
26 iftrue 3796 . . . 4  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2726sumeq2i 13175 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  A  C
28 nfcv 2578 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
29 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
30 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ k
0
3129, 5, 30nfif 3817 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
32 eleq1 2502 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
3332, 7ifbieq1d 3811 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
3428, 31, 33cbvsumi 13173 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3527, 34eqtr3i 2464 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3628, 31, 33cbvsumi 13173 . 2  |-  sum_ k  e.  B  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3725, 35, 363eqtr4g 2499 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   [_csb 3287    \ cdif 3324    C_ wss 3327   ifcif 3790   ` cfv 5417   Fincfn 7309   CCcc 9279   0cc0 9281   ZZ>=cuz 10860   sum_csu 13162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-sum 13163
This theorem is referenced by:  fsumsplit  13215  sumsplit  13234  isumless  13307  rpnnen2lem11  13506  sumhash  13957  prmrec  13982  plyeq0lem  21677  prmorcht  22515  musumsum  22531  pclogsum  22553  dchrhash  22609  rpvmasum2  22760  pntlemj  22851  plymulx0  26947
  Copyright terms: Public domain W3C validator