MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss2 Structured version   Unicode version

Theorem sumss2 13759
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumss2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    C( k)    M( k)

Proof of Theorem sumss2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A  C_  B )
2 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
3 iftrue 3912 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
43adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
5 nfcsb1v 3408 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
65nfel1 2598 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
7 csbeq1a 3401 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
87eleq1d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
96, 8rspc 3173 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
109impcom 431 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
114, 10eqeltrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
122, 11sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
13 eldifn 3585 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
1413iffalsed 3917 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1514adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
16 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M
) )
171, 12, 15, 16sumss 13757 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
18 simpll 758 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A  C_  B
)
19 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
2019, 11sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
2114adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
22 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
2318, 20, 21, 22fsumss 13758 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
2417, 23jaodan 792 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  = 
sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
25 iftrue 3912 . . . 4  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2625sumeq2i 13732 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  A  C
27 nfcv 2582 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
28 nfv 1751 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
29 nfcv 2582 . . . . 5  |-  F/_ k
0
3028, 5, 29nfif 3935 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
31 eleq1 2492 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
3231, 7ifbieq1d 3929 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
3327, 30, 32cbvsumi 13730 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3426, 33eqtr3i 2451 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3527, 30, 32cbvsumi 13730 . 2  |-  sum_ k  e.  B  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3624, 34, 353eqtr4g 2486 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   [_csb 3392    \ cdif 3430    C_ wss 3433   ifcif 3906   ` cfv 5592   Fincfn 7568   CCcc 9526   0cc0 9528   ZZ>=cuz 11148   sum_csu 13719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720
This theorem is referenced by:  fsumsplit  13773  sumsplit  13796  isumless  13870  rpnnen2lem11  14244  sumhash  14793  prmrec  14818  plyeq0lem  23029  prmorcht  23965  musumsum  23981  pclogsum  24003  dchrhash  24059  rpvmasum2  24210  pntlemj  24301  plymulx0  29221
  Copyright terms: Public domain W3C validator