MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss2 Structured version   Unicode version

Theorem sumss2 13511
Description: Change the index set of a sum by adding zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumss2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k
Allowed substitution hints:    C( k)    M( k)

Proof of Theorem sumss2
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A  C_  B )
2 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
3 iftrue 3945 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  [_ m  / 
k ]_ C )
5 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
65nfel1 2645 . . . . . . . 8  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
7 csbeq1a 3444 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
87eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
96, 8rspc 3208 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
)
109impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
114, 10eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  C  e.  CC  /\  m  e.  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
122, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
13 eldifn 3627 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  -.  m  e.  A )
14 iffalse 3948 . . . . . 6  |-  ( -.  m  e.  A  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( B  \  A )  ->  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
1615adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>=
`  M ) )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
17 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M
) )
181, 12, 16, 17sumss 13509 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
19 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A  C_  B
)
20 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
2120, 11sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  A
)  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  e.  CC )
2215adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  /\  m  e.  ( B  \  A ) )  ->  if (
m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  0 )
23 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  B  e.  Fin )
2419, 21, 22, 23fsumss 13510 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  B  e.  Fin )  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
2518, 24jaodan 783 . 2  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )  = 
sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
26 iftrue 3945 . . . 4  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2726sumeq2i 13484 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  A  C
28 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ m if ( k  e.  A ,  C ,  0 )
29 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ k  m  e.  A
30 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ k
0
3129, 5, 30nfif 3968 . . . 4  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
32 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
3332, 7ifbieq1d 3962 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 ) )
3428, 31, 33cbvsumi 13482 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3527, 34eqtr3i 2498 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ m  e.  A  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3628, 31, 33cbvsumi 13482 . 2  |-  sum_ k  e.  B  if (
k  e.  A ,  C ,  0 )  =  sum_ m  e.  B  if ( m  e.  A ,  [_ m  /  k ]_ C ,  0 )
3725, 35, 363eqtr4g 2533 1  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  B  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   [_csb 3435    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   ` cfv 5588   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492   ZZ>=cuz 11082   sum_csu 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472
This theorem is referenced by:  fsumsplit  13525  sumsplit  13546  isumless  13620  rpnnen2lem11  13819  sumhash  14274  prmrec  14299  plyeq0lem  22370  prmorcht  23208  musumsum  23224  pclogsum  23246  dchrhash  23302  rpvmasum2  23453  pntlemj  23544  plymulx0  28172
  Copyright terms: Public domain W3C validator