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Theorem sumss 13867
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
sumss.4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 sumss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 sumss.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
53, 4sstrd 3428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
65adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
7 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
8 nffvmpt1 5887 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )
9 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  A
10 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )
11 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
129, 10, 11nfif 3901 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
138, 12nfeq 2623 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
14 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `
 m ) )
15 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
16 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
1715, 16ifbieq1d 3895 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
1814, 17eqeq12d 2486 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
19 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
2019fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
21 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2221fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I  `  C ) )
2320, 22sylan9eq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
24 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )
25 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2625fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
2724, 26eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
2827adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
2923, 28eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
30 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
3130fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
32 0z 10972 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
33 fvi 5937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
3531, 34syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  0 )
3620, 35sylan9eq 2525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  0 )
37 iffalse 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
3837adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 )
3936, 38eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) )
4029, 39pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3098 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
4241adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
43 sumss.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4443, 25fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
4544adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
4645ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
471, 2, 6, 42, 46zsum 13861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
484adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
49 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
50 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  m  e.  B
51 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )
5250, 51, 11nfif 3901 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
538, 52nfeq 2623 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
5449, 53nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
55 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
5755, 56ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
5814, 57eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
5958imbi2d 323 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) ) )
6023adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
613adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  C_  B
)
6261sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
63 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) )
64 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
6564fvmpt2i 5971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
6663, 65eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
6860, 67eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
6936adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  0 )
7066ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
71 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  0 ) )
74 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
75 fvi 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
7773, 76syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  0 )
7871, 77sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  -> 
(  _I  `  C
)  =  0 )
7970, 78eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8079expr 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
81 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
8480, 83pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 ) )
8685imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8769, 86eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
8868, 87pm2.61dan 808 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
8988expcom 442 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) ) )
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3098 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) ) )
9190impcom 437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9291adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9343ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
9493adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
9572, 74syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
9671, 95sylan2br 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
9796expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
9894, 97pm2.61d 163 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9998, 64fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
10099adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
101100ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1021, 2, 48, 92, 101zsum 13861 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10347, 102eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
104 sumfc 13852 . . 3  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
105 sumfc 13852 . . 3  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
106103, 104, 1053eqtr3g 2528 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1073adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
108 uzf 11185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
109108fdmi 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
110109eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
111 ndmfv 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
112110, 111sylnbir 314 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
113112sseq2d 3446 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( B  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  B  C_  (/) ) )
1144, 113syl5ib 227 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ph  ->  B  C_  (/) ) )
115114impcom 437 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
116107, 115sstrd 3428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
117 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
118116, 117syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
119 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
120115, 119syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
121118, 120eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
122121sumeq1d 13844 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
123106, 122pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589   CCcc 9555   0cc0 9557    + caddc 9560   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182    seqcseq 12251    ~~> cli 13625   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  fsumss  13868  sumss2  13869  binomlem  13964  eulerpartlemsv2  29264  eulerpartlemsv3  29267  eulerpartlemv  29270  eulerpartlemb  29274
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