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Theorem sumss 13512
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
sumss.4  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
Assertion
Ref Expression
sumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    k, M
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
3 sumss.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 sumss.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M ) )
53, 4sstrd 3514 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
7 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ k
m
8 nffvmpt1 5874 . . . . . . . 8  |-  F/_ k
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )
9 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ k  m  e.  A
10 nffvmpt1 5874 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )
11 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
0
129, 10, 11nfif 3968 . . . . . . . 8  |-  F/_ k if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
138, 12nfeq 2640 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
14 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `
 m ) )
15 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  A  <->  m  e.  A ) )
16 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
1715, 16ifbieq1d 3962 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
1814, 17eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
2019fvmpt2i 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
21 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
2221fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  (  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I  `  C ) )
2320, 22sylan9eq 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
24 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
2625fvmpt2i 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
2724, 26eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
2923, 28eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
30 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
3130fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
32 0z 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
33 fvi 5925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
3531, 34syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
(  _I  `  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  0 )
3620, 35sylan9eq 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  0 )
37 iffalse 3948 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
3837adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 )
3936, 38eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) )
4029, 39pm2.61dan 789 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3176 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
4241adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  A ,  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
43 sumss.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
4443, 25fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> CC )
4645ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
471, 2, 6, 42, 46zsum 13506 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
484adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  ( ZZ>= `  M )
)
49 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
50 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  m  e.  B
51 nffvmpt1 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )
5250, 51, 11nfif 3968 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
538, 52nfeq 2640 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 )
5449, 53nfim 1867 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
55 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
k  e.  B  <->  m  e.  B ) )
56 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
5755, 56ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) )
5814, 57eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  <->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) )
5958imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  (
( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( ( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) ) ) )
6023adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  C ) )
613adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A  C_  B
)
6261sselda 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  B )
63 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) )
64 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
6564fvmpt2i 5957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  k
)  =  (  _I 
`  C ) )
6663, 65eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
6762, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
6860, 67eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
6936adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  0 )
7066ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  (  _I  `  C ) )
71 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
7372fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  0 ) )
74 0cn 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
75 fvi 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
7773, 76syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  (  _I  `  C )  =  0 )
7871, 77sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  -> 
(  _I  `  C
)  =  0 )
7970, 78eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8079expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
81 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
8480, 83pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if (
k  e.  B , 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  k ) ,  0 )  =  0 ) )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 )  =  0 )
8769, 86eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
8868, 87pm2.61dan 789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  k
) ,  0 ) )
8988expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  k )  =  if ( k  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 k ) ,  0 ) ) )
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3176 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m ) ,  0 ) ) )
9190impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9291adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
k  e.  ( ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) `  m )  =  if ( m  e.  B ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) ,  0 ) )
9343ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
9572, 74syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
9671, 95sylan2br 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
9796expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
9894, 97pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9998, 64fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
10099adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
101100ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  ZZ )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
1021, 2, 48, 92, 101zsum 13506 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  (  ~~>  `  seq M (  +  , 
( k  e.  (
ZZ>= `  M )  |->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
10347, 102eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
104 sumfc 13497 . . 3  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
105 sumfc 13497 . . 3  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
106103, 104, 1053eqtr3g 2531 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1073adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  B )
108 uzf 11086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
109108fdmi 5736 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
110109eleq2i 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  dom  ZZ>=  <->  M  e.  ZZ )
111 ndmfv 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  M  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  M )  =  (/) )
112110, 111sylnbir 307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ZZ>= `  M )  =  (/) )
113112sseq2d 3532 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( B  C_  ( ZZ>= `  M )  <->  B  C_  (/) ) )
1144, 113syl5ib 219 . . . . . . 7  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  (
ph  ->  B  C_  (/) ) )
115114impcom 430 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  C_  (/) )
116107, 115sstrd 3514 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  C_  (/) )
117 ss0 3816 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
118116, 117syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  (/) )
119 ss0 3816 . . . . 5  |-  ( B 
C_  (/)  ->  B  =  (/) )
120115, 119syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  B  =  (/) )
121118, 120eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  A  =  B )
122121sumeq1d 13489 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
123106, 122pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588   CCcc 9491   0cc0 9493    + caddc 9496   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083    seqcseq 12076    ~~> cli 13273   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  fsumss  13513  sumss2  13514  binomlem  13607  eulerpartlemsv2  28048  eulerpartlemsv3  28051  eulerpartlemv  28054  eulerpartlemb  28058
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