Theorem sumsqne0i 7879

Description: The sum of two squares is nonzero iff one of its terms is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
sumsqne0.1	|- A e. RR
sumsqne0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
sumsqne0i	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Proof of Theorem sumsqne0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsqne0.1	. . . . 5 |- A e. RR
2	1	sqgt0i 7872	. . . 4 |- (A =/= 0 -> 0 < (A^2))
3		sumsqne0.2	. . . . . . 7 |- B e. RR
4	3	sqge0i 7873	. . . . . 6 |- 0 <_ (B^2)
5	1	resqcli 7868	. . . . . . 7 |- (A^2) e. RR
6	3	resqcli 7868	. . . . . . 7 |- (B^2) e. RR
7		addge01 6861	. . . . . . 7 |- (((A^2) e. RR /\ (B^2) e. RR) -> (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
8	5, 6, 7	mp2an 761	. . . . . 6 |- (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
9	4, 8	mpbi 206	. . . . 5 |- (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))
10		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
11	5, 6	readdcli 6487	. . . . . 6 |- ((A^2) + (B^2)) e. RR
12	10, 5, 11	ltletri 6762	. . . . 5 |- ((0 < (A^2) /\ (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
13	9, 12	mpan2 760	. . . 4 |- (0 < (A^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
14	11	gt0ne0i 6791	. . . 4 |- (0 < ((A^2) + (B^2)) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
15	2, 13, 14	3syl 24	. . 3 |- (A =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
16	3	sqgt0i 7872	. . . 4 |- (B =/= 0 -> 0 < (B^2))
17	1	sqge0i 7873	. . . . . 6 |- 0 <_ (A^2)
18		addge02 6862	. . . . . . 7 |- (((B^2) e. RR /\ (A^2) e. RR) -> (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
19	6, 5, 18	mp2an 761	. . . . . 6 |- (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
20	17, 19	mpbi 206	. . . . 5 |- (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))
21	10, 6, 11	ltletri 6762	. . . . 5 |- ((0 < (B^2) /\ (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
22	20, 21	mpan2 760	. . . 4 |- (0 < (B^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
23	16, 22, 14	3syl 24	. . 3 |- (B =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
24	15, 23	jaoi 368	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
25		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
26		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (B = 0 -> (B^2) = (0^2))
27	25, 26	opreqan12d 4902	. . . . 5 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = ((0^2) + (0^2)))
28		2nn 7183	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
29		0exp 7832	. . . . . . . 8 |- (2 e. NN -> (0^2) = 0)
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0^2) = 0
31	30, 30	opreq12i 4894	. . . . . 6 |- ((0^2) + (0^2)) = (0 + 0)
32		0cn 6481	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
33	32	addid1i 6483	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
34	31, 33	eqtri 1908	. . . . 5 |- ((0^2) + (0^2)) = 0
35	27, 34	syl6eq 1944	. . . 4 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = 0)
36	35	con3i 114	. . 3 |- (-. ((A^2) + (B^2)) = 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
37		df-ne 2019	. . 3 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 <-> -. ((A^2) + (B^2)) = 0)
38		neorian 2098	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
39	36, 37, 38	3imtr4i 236	. 2 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
40	24, 39	impbii 174	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain