MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsqeq0 Structured version   Unicode version

Theorem sumsqeq0 11927
Description: Two real numbers are equal to 0 iff their Euclidean norm is. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sumsqeq0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  <->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem sumsqeq0
StepHypRef Expression
1 resqcl 11916 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2 sqge0 11925 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
31, 2jca 529 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
2 ) ) )
4 resqcl 11916 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
5 sqge0 11925 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
64, 5jca 529 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( B ^
2 ) ) )
7 add20 9838 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ 2 ) )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( A ^
2 )  =  0  /\  ( B ^
2 )  =  0 ) ) )
83, 6, 7syl2an 474 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( A ^
2 )  =  0  /\  ( B ^
2 )  =  0 ) ) )
9 recn 9359 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 sqeq0 11913 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
12 recn 9359 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
13 sqeq0 11913 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
1511, 14bi2anan9 861 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  =  0  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
168, 15bitr2d 254 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  <->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269    + caddc 9272    <_ cle 9406   2c2 10358   ^cexp 11848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  crreczi  11972  diophin  28953
  Copyright terms: Public domain W3C validator