MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsqeq0 Structured version   Unicode version

Theorem sumsqeq0 12149
Description: Two real numbers are equal to 0 iff their Euclidean norm is. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
sumsqeq0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  <->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem sumsqeq0
StepHypRef Expression
1 resqcl 12138 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
2 sqge0 12147 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
31, 2jca 530 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
2 ) ) )
4 resqcl 12138 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
5 sqge0 12147 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
64, 5jca 530 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( B ^
2 ) ) )
7 add20 9982 . . 3  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ 2 ) )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( A ^
2 )  =  0  /\  ( B ^
2 )  =  0 ) ) )
83, 6, 7syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0  <-> 
( ( A ^
2 )  =  0  /\  ( B ^
2 )  =  0 ) ) )
9 recn 9493 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 sqeq0 12135 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A ^ 2 )  =  0  <->  A  =  0 ) )
12 recn 9493 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
13 sqeq0 12135 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( B ^ 2 )  =  0  <->  B  =  0 ) )
1511, 14bi2anan9 871 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  =  0  /\  ( B ^ 2 )  =  0 )  <->  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) ) )
168, 15bitr2d 254 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  <->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    <_ cle 9540   2c2 10502   ^cexp 12069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-seq 12011  df-exp 12070
This theorem is referenced by:  crreczi  12193  diophin  30871
  Copyright terms: Public domain W3C validator