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Theorem sumsplit 13734
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
sumsplit.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
sumsplit.3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sumsplit.4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
sumsplit.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
sumsplit.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
sumsplit.7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
sumsplit.8  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
sumsplit.9  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
sumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, F    k, G    k, M    ph, k    k, Z
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumsplit
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  Z )
2 sumsplit.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  B
) )  ->  C  e.  CC )
32ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )
4 sumsplit.1 . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
54eqimssi 3496 . . . . 5  |-  Z  C_  ( ZZ>= `  M )
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  C_  ( ZZ>= `  M ) )
76orcd 390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)
8 sumss2 13697 . . 3  |-  ( ( ( ( A  u.  B )  C_  Z  /\  A. k  e.  ( A  u.  B ) C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>= `  M )  \/  Z  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  B
) C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
91, 3, 7, 8syl21anc 1229 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  sum_ k  e.  Z  if (
k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
10 sumsplit.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
11 sumsplit.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  C , 
0 ) )
12 iftrue 3891 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
1312adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
14 elun1 3610 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
1514, 2sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
1613, 15eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
17 iffalse 3894 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
18 0cn 9618 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1917, 18syl6eqel 2498 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
2019adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
2116, 20pm2.61dan 792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
2221adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
23 sumsplit.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )
24 iftrue 3891 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
2524adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
26 elun2 3611 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  k  e.  ( A  u.  B
) )
2726, 2sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
2825, 27eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
29 iffalse 3894 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
3029, 18syl6eqel 2498 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
3130adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
3228, 31pm2.61dan 792 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
3332adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
34 sumsplit.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
35 sumsplit.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
364, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35isumadd 13733 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
3715addid1d 9814 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
38 noel 3742 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
39 elin 3626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
40 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
4239, 41syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
4338, 42mtbii 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
44 imnan 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
4543, 44sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4645imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
4746, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4813, 47oveq12d 6296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
49 iftrue 3891 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5014, 49syl 17 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5150adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  C )
5237, 48, 513eqtr4rd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
5332addid2d 9815 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
5453adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
0  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
5517adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
5655oveq1d 6293 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
57 biorf 403 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  B  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
58 elun 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
5957, 58syl6rbbr 264 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  -> 
( k  e.  ( A  u.  B )  <-> 
k  e.  B ) )
6059adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  (
k  e.  ( A  u.  B )  <->  k  e.  B ) )
6160ifbid 3907 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
6254, 56, 613eqtr4rd 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
6352, 62pm2.61dan 792 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  ( A  u.  B
) ,  C , 
0 )  =  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
6463sumeq2sdv 13675 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 )  =  sum_ k  e.  Z  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
651unssad 3620 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
6615ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
67 sumss2 13697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  Z  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
6865, 66, 7, 67syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
691unssbd 3621 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  Z )
7027ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
71 sumss2 13697 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  Z  /\  A. k  e.  B  C  e.  CC )  /\  ( Z  C_  ( ZZ>=
`  M )  \/  Z  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
7269, 70, 7, 71syl21anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
7368, 72oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
7436, 64, 733eqtr4rd 2454 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  = 
sum_ k  e.  Z  if ( k  e.  ( A  u.  B ) ,  C ,  0 ) )
759, 74eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  u.  B ) C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754    u. cun 3412    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   dom cdm 4823   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   0cc0 9522    + caddc 9525   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127    seqcseq 12151    ~~> cli 13456   sum_csu 13657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658
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