HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumspansn Structured version   Unicode version

Theorem sumspansn 27288
Description: The sum of two vectors belong to the span of one of them iff the other vector also belongs. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
sumspansn  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )

Proof of Theorem sumspansn
StepHypRef Expression
1 spansnsh 27200 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( span `  { A }
)  e.  SH )
21adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } ) )  ->  ( span `  { A } )  e.  SH )
3 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } ) )  ->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) )
4 spansnid 27202 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
54adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } ) )  ->  A  e.  ( span `  { A } ) )
6 shsubcl 26859 . . . . . 6  |-  ( ( ( span `  { A } )  e.  SH  /\  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  /\  A  e.  (
span `  { A } ) )  -> 
( ( A  +h  B )  -h  A
)  e.  ( span `  { A } ) )
72, 3, 5, 6syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } ) )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A )  e.  (
span `  { A } ) )
87ex 435 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A )  e.  (
span `  { A } ) ) )
98adantr 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  ->  (
( A  +h  B
)  -h  A )  e.  ( span `  { A } ) ) )
10 hvpncan2 26679 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  -h  A
)  =  B )
1110eleq1d 2491 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( ( A  +h  B )  -h  A )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
129, 11sylibd 217 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  ->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
13 shaddcl 26856 . . . . 5  |-  ( ( ( span `  { A } )  e.  SH  /\  A  e.  ( span `  { A } )  /\  B  e.  (
span `  { A } ) )  -> 
( A  +h  B
)  e.  ( span `  { A } ) )
14133expia 1207 . . . 4  |-  ( ( ( span `  { A } )  e.  SH  /\  A  e.  ( span `  { A } ) )  ->  ( B  e.  ( span `  { A } )  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) ) )
151, 4, 14syl2anc 665 . . 3  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( B  e.  ( span `  { A } )  ->  ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } ) ) )
1615adantr 466 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( B  e.  (
span `  { A } )  ->  ( A  +h  B )  e.  ( span `  { A } ) ) )
1712, 16impbid 193 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( ( A  +h  B )  e.  (
span `  { A } )  <->  B  e.  ( span `  { A } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1868   {csn 3996   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ~Hchil 26558    +h cva 26559    -h cmv 26564   SHcsh 26567   spancspn 26571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cc 8866  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618  ax-addf 9619  ax-mulf 9620  ax-hilex 26638  ax-hfvadd 26639  ax-hvcom 26640  ax-hvass 26641  ax-hv0cl 26642  ax-hvaddid 26643  ax-hfvmul 26644  ax-hvmulid 26645  ax-hvmulass 26646  ax-hvdistr1 26647  ax-hvdistr2 26648  ax-hvmul0 26649  ax-hfi 26718  ax-his1 26721  ax-his2 26722  ax-his3 26723  ax-his4 26724  ax-hcompl 26841
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-fi 7928  df-sup 7959  df-inf 7960  df-oi 8028  df-card 8375  df-acn 8378  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-q 11266  df-rp 11304  df-xneg 11410  df-xadd 11411  df-xmul 11412  df-ioo 11640  df-ico 11642  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-rlim 13541  df-sum 13741  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-rest 15309  df-topn 15310  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-topgen 15330  df-pt 15331  df-prds 15334  df-xrs 15388  df-qtop 15394  df-imas 15395  df-xps 15398  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-mulg 16664  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-psmet 18950  df-xmet 18951  df-met 18952  df-bl 18953  df-mopn 18954  df-fbas 18955  df-fg 18956  df-cnfld 18959  df-top 19908  df-bases 19909  df-topon 19910  df-topsp 19911  df-cld 20021  df-ntr 20022  df-cls 20023  df-nei 20101  df-cn 20230  df-cnp 20231  df-lm 20232  df-haus 20318  df-tx 20564  df-hmeo 20757  df-fil 20848  df-fm 20940  df-flim 20941  df-flf 20942  df-xms 21322  df-ms 21323  df-tms 21324  df-cfil 22212  df-cau 22213  df-cmet 22214  df-grpo 25905  df-gid 25906  df-ginv 25907  df-gdiv 25908  df-ablo 25996  df-subgo 26016  df-vc 26151  df-nv 26197  df-va 26200  df-ba 26201  df-sm 26202  df-0v 26203  df-vs 26204  df-nmcv 26205  df-ims 26206  df-dip 26323  df-ssp 26347  df-ph 26440  df-cbn 26491  df-hnorm 26607  df-hba 26608  df-hvsub 26610  df-hlim 26611  df-hcau 26612  df-sh 26846  df-ch 26860  df-oc 26891  df-ch0 26892  df-span 26948
This theorem is referenced by:  nonbooli  27290
  Copyright terms: Public domain W3C validator