Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Unicode version

Theorem sumsnd 31604
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 13575. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
sumsnd.2  |-  F/ k
ph
sumsnd.3  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
sumsnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
sumsnd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sumsnd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable group:    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3446 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3439 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 13531 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3433 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10567 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
8 sumsnd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5860 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10915 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11751 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5814 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 4057 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
2219, 20, 8, 21csbiedf 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2623, 25eqeltrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2718, 26eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2822adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
29 elfz1eq 11722 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
3029fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
31 fvsng 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
326, 8, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3330, 32sylan9eqr 2520 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  M )
3433csbeq1d 3437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3529fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
36 fvsng 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 24, 36sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3835, 37sylan9eqr 2520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  B )
3928, 34, 383eqtr4rd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
405, 7, 15, 27, 39fsum 13554 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
414, 40syl5eq 2510 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4211, 37seq1i 12124 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4341, 42eqtrd 2498 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   [_csb 3430   {csn 4032   <.cop 4038   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   1c1 9510    + caddc 9512   NNcn 10556   ZZcz 10885   ...cfz 11697    seqcseq 12110   sum_csu 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521
This theorem is referenced by:  sumpair  31613  dvnmul  31943
  Copyright terms: Public domain W3C validator