Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Unicode version

Theorem sumsnd 29753
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 13222. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
sumsnd.2  |-  F/ k
ph
sumsnd.3  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
sumsnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
sumsnd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sumsnd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable group:    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2584 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3309 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3302 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 13179 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3296 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10338 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
8 sumsnd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5684 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10681 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11505 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5638 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3907 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
2219, 20, 8, 21csbiedf 3314 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2322adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2623, 25eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2718, 26eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2822adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
29 elfz1eq 11467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
3029fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
31 fvsng 5917 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
326, 8, 31sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3330, 32sylan9eqr 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  M )
3433csbeq1d 3300 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3529fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
36 fvsng 5917 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 24, 36sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3835, 37sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  B )
3928, 34, 383eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
405, 7, 15, 27, 39fsum 13202 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
414, 40syl5eq 2487 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4211, 37seq1i 11825 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4341, 42eqtrd 2475 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2571   [_csb 3293   {csn 3882   <.cop 3888   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   1c1 9288    + caddc 9290   NNcn 10327   ZZcz 10651   ...cfz 11442    seqcseq 11811   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169
This theorem is referenced by:  sumpair  29762
  Copyright terms: Public domain W3C validator