MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Structured version   Unicode version

Theorem sumsn 13529
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sumsn
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3451 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3444 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 13485 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3438 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10548 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5854 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10895 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11726 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5808 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 4052 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3442 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 nfcvd 2630 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
20 fsum1.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2119, 20csbiegf 3459 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2221ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
23 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2422, 23eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2518, 24eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2621ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ M  / 
k ]_ A  =  B )
27 elfz1eq 11698 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
2827fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
29 fvsng 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
306, 8, 29sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3128, 30sylan9eqr 2530 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  =  M )
3231csbeq1d 3442 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3327fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 fvsng 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
366, 34, 35sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3733, 36sylan9eqr 2530 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  =  B )
3826, 32, 373eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
395, 7, 15, 25, 38fsum 13508 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
404, 39syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4111, 36seq1i 12090 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4240, 41eqtrd 2508 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   [_csb 3435   {csn 4027   <.cop 4033   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   1c1 9494    + caddc 9496   NNcn 10537   ZZcz 10865   ...cfz 11673    seqcseq 12076   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  fsum1  13530  sumsns  13531  fsumm1  13532  fsum1p  13534  fsum2dlem  13551  fsumge1  13577  fsumrlim  13591  fsumo1  13592  fsumiun  13601  incexclem  13614  incexc  13615  rpnnen2lem11  13822  bitsinv1  13954  2ebits  13959  bitsinvp1  13961  ovolfiniun  21739  volfiniun  21784  itg11  21925  itgfsum  22060  plyeq0lem  22434  coemulhi  22477  vieta1lem2  22533  vieta1  22534  chtprm  23252  musumsum  23293  muinv  23294  logexprlim  23325  perfectlem2  23330  dchrhash  23371  rpvmasum2  23522  sumpr  27528  eulerpartlems  28050  eulerpartlemgc  28052  plymulx0  28255  signsplypnf  28258  fprodefsum  28957  binomfallfac  29016  ismrer1  30164  jm2.23  30769  stoweidlem17  31544  stoweidlem44  31571
  Copyright terms: Public domain W3C validator