MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Structured version   Unicode version

Theorem sumsn 13229
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
sumsn  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem sumsn
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3316 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3309 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 13186 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3303 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10345 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  NN )
8 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5691 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10688 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11512 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5645 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3914 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3307 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
19 nfcvd 2590 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  V  ->  F/_ k B )
20 fsum1.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  A  =  B )
2119, 20csbiegf 3324 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  V  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
2221ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
23 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2422, 23eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2518, 24eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2621ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ M  / 
k ]_ A  =  B )
27 elfz1eq 11474 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
2827fveq2d 5707 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
29 fvsng 5924 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
306, 8, 29sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3128, 30sylan9eqr 2497 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  =  M )
3231csbeq1d 3307 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3327fveq2d 5707 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
34 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
35 fvsng 5924 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
366, 34, 35sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3733, 36sylan9eqr 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  =  B )
3826, 32, 373eqtr4rd 2486 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  ( 1 ... 1 ) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `
 n )  = 
[_ ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  / 
k ]_ A )
395, 7, 15, 25, 38fsum 13209 . . 3  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
404, 39syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4111, 36seq1i 11832 . 2  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  ->  (  seq 1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4240, 41eqtrd 2475 1  |-  ( ( M  e.  V  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   [_csb 3300   {csn 3889   <.cop 3895   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   1c1 9295    + caddc 9297   NNcn 10334   ZZcz 10658   ...cfz 11449    seqcseq 11818   sum_csu 13175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176
This theorem is referenced by:  fsum1  13230  sumsns  13231  fsumm1  13232  fsum1p  13234  fsum2dlem  13249  fsumge1  13272  fsumrlim  13286  fsumo1  13287  fsumiun  13296  incexclem  13311  incexc  13312  rpnnen2lem11  13519  bitsinv1  13650  2ebits  13655  bitsinvp1  13657  ovolfiniun  20996  volfiniun  21040  itg11  21181  itgfsum  21316  plyeq0lem  21690  coemulhi  21733  vieta1lem2  21789  vieta1  21790  chtprm  22503  musumsum  22544  muinv  22545  logexprlim  22576  perfectlem2  22581  dchrhash  22622  rpvmasum2  22773  sumpr  26254  eulerpartlems  26755  eulerpartlemgc  26757  plymulx0  26960  signsplypnf  26963  fprodefsum  27497  binomfallfac  27556  ismrer1  28749  jm2.23  29357  stoweidlem17  29824  stoweidlem44  29851
  Copyright terms: Public domain W3C validator