Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpr Structured version   Unicode version

Theorem sumpr 26242
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sumpr.2  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
sumpr.3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
sumpr.4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
sumpr.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
sumpr  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E    ph, k    k, V    k, W
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 3937 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3880 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 prfi 7586 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  Fin
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
8 sumpr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
9 sumpr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
10 sumpr.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
1110eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( C  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
12 sumpr.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
1312eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( C  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
1411, 13ralprg 3925 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
159, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
168, 15mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B } C  e.  CC )
1716r19.21bi 2814 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
183, 5, 7, 17fsumsplit 13216 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
199simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
208simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2110sumsn 13217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
2219, 20, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
239simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
248simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2512sumsn 13217 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2722, 26oveq12d 6109 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2818, 27eqtrd 2475 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715    u. cun 3326    i^i cin 3327   (/)c0 3637   {csn 3877   {cpr 3879  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   CCcc 9280    + caddc 9285   sum_csu 13163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator