MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumpr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sumpr 13809
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sumpr.2  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
sumpr.3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
sumpr.4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
sumpr.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
sumpr  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E    ph, k    k, V    k, W
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 4033 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3971 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 prfi 7846 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  Fin
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
8 sumpr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
9 sumpr.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
10 sumpr.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
1110eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( C  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
12 sumpr.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
1312eleq1d 2513 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( C  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
1411, 13ralprg 4021 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
159, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
168, 15mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B } C  e.  CC )
1716r19.21bi 2757 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
183, 5, 7, 17fsumsplit 13806 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
199simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
208simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2110sumsn 13807 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
2219, 20, 21syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
239simprd 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
248simprd 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2512sumsn 13807 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2623, 24, 25syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2722, 26oveq12d 6308 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2818, 27eqtrd 2485 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737    u. cun 3402    i^i cin 3403   (/)c0 3731   {csn 3968   {cpr 3970  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537    + caddc 9542   sum_csu 13752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753
This theorem is referenced by:  sumtp  13810  sge0pr  38236  nnsum3primes4  38883  nnsum3primesgbe  38887
  Copyright terms: Public domain W3C validator