Theorem summolem2a 13548

Description: Lemma for summo 13550. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
summo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summo.3	|- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
summolem2.4	|- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
summolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
summolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
summolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
summolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
summolem2a	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, A   f, F, k, n   k, G, n   k, K, n   k, N, n   ph, k, n   B, f, n   k, M, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( k)   G( f)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summolem2a

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		summo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
2		summo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		summolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
4		summolem2.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
5		summolem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) e. _V
7	6	f1oen 7555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... N ) ~~ A )
8	5, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) ~~ A )
9		fzfid 12085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10	8	ensymd 7585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A ~~ ( 1 ... N ) )
11		enfii 7756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... N ) ) -> A e. Fin )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
13		hashen 12422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
15	8, 14	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) )
16		summolem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
17		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
18		hashfz1 12421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	15, 19	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` A ) = N )
21	20	oveq2d 6312	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
22		isoeq4 6219	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
24	4, 23	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
25		isof1o 6222	. . . . . . 7 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26	24, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5822	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
28	26, 27	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
29		nnuz 11141	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	16, 29	syl6eleq 2555	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		eluzfz2 11719	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
33	28, 32	ffvelrnd 6033	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
34	3, 33	sseldd 3500	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
35	3	sselda 3499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		f1ocnvfv2 6184	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
37	26, 36	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
38		f1ocnv 5834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
39		f1of 5822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
40	26, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
41	40	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) )
42		elfzle2 11715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
44	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
45		fzssuz 11749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
46		uzssz 11125	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
47		zssre 10892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
48	46, 47	sstri 3508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
49	45, 48	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
50		ressxr 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
51	49, 50	sstri 3508	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
53	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
54		uzssz 11125	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
55	54, 47	sstri 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
56	53, 55	syl6ss 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR )
57	56, 50	syl6ss 3511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR* )
58	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
59		leisorel 12512	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
61	43, 60	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) )
62	37, 61	eqbrtrrd 4478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n <_ ( K ` N ) )
63		eluzelz 11115	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
64	35, 63	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
65		eluzelz 11115	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
66	34, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
67	66	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
68		eluz 11119	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
70	62, 69	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) )
71		elfzuzb 11707	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
72	35, 70, 71	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) )
73	72	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
74	73	ssrdv 3505	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
75	1, 2, 34, 74	fsumcvg 13545	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) )
76		addid2 9780	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 0 + m ) = m )
77	76	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 0 + m ) = m )
78		addid1 9777	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
79	78	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
80		addcl 9591	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m + x ) e. CC )
81	80	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m + x ) e. CC )
82		0cnd 9606	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
83	32, 21	eleqtrrd 2548	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
84		iftrue 3950	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
86	85, 2	eqeltrd 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
87	86	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
88		iffalse 3953	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
89		0cn 9605	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
90	88, 89	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
91	87, 90	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
92	91	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
93	92, 1	fmptd 6056	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
94		elfzelz 11713	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
95		ffvelrn 6030	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
96	93, 94, 95	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
97		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
98	97	eqeq1d 2459	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
99		eldifi 3622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) )
100		elfzelz 11713	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> k e. ZZ )
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
102		eldifn 3623	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
103	102, 88	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
104	103, 89	syl6eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
105	1	fvmpt2 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
107	106, 103	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
108	98, 107	vtoclga 3173	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
109	108	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
110		isof1o 6222	. . . . . . . 8 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
111		f1of 5822	. . . . . . . 8 |- ( K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
112	4, 110, 111	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
113	112	ffvelrnda 6032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
114	113	iftrued 3952	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
115	3	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 113	sseldd 3500	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
117		eluzelz 11115	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
119		nfv 1708	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
120		nfv 1708	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
121		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
122		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
123	120, 121, 122	nfif 3973	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 )
124	123	nfel1 2635	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
125	119, 124	nfim 1921	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
126		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( K ` x ) e. _V
127		eleq1 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
128		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
129	127, 128	ifbieq1d 3967	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
130	129	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
131	130	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) <-> ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) ) )
132	125, 126, 131, 91	vtoclf 3160	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
133	132	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
134		eleq1 2529	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
135		csbeq1 3433	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
136	134, 135	ifbieq1d 3967	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
137		nfcv 2619	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
138		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
139		nfcsb1v 3446	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
140	138, 139, 122	nfif 3973	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
141		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
142		csbeq1a 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
143	141, 142	ifbieq1d 3967	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
144	137, 140, 143	cbvmpt 4547	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
145	1, 144	eqtri 2486	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
146	136, 145	fvmptg 5954	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
147	118, 133, 146	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
148		elfznn 11739	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
149	148	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. NN )
150	114, 133	eqeltrrd 2546	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
151		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( K ` n ) = ( K ` x ) )
152	151	csbeq1d 3437	. . . . . . 7 |- ( n = x -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
153		summolem2.4	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
154	152, 153	fvmptg 5954	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
155	149, 150, 154	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
156	114, 147, 155	3eqtr4rd 2509	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
157	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156	seqcoll 12515	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
158		summo.3	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
159	16, 16	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
160	1, 2, 158, 153, 159, 5, 26	summolem3 13547	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
161	157, 160	eqtr4d 2501	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
162	75, 161	breqtrd 4480	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   [_csb 3430   \ cdif 3468   C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Isom wiso 5595  (class class class)co 6296   ~~ cen 7532   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   seqcseq 12109   #chash 12407   ~~> cli 13318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322

This theorem is referenced by:  summolem2  13549  zsum  13551