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Theorem summolem2a 13305
Description: Lemma for summo 13307. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
summolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
summolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
summolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
summolem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    f, k, n, A    f, F, k, n    k, G, n   
k, K, n    k, N, n    ph, k, n    B, f, n    k, M, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( k)    G( f)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2 summo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 summolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 summolem2.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 6220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 7435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 11907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
108ensymd 7465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
11 enfii 7636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 hashen 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
149, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
158, 14mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
17 nnnn0 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
18 hashfz1 12229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2015, 19eqtr3d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2120oveq2d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
22 isoeq4 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
244, 23mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
25 isof1o 6120 . . . . . . 7  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5744 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
29 nnuz 11002 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3016, 29syl6eleq 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
31 eluzfz2 11571 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
3328, 32ffvelrnd 5948 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
343, 33sseldd 3460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
353sselda 3459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 f1ocnvfv2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n ) )  =  n )
3726, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  =  n )
38 f1ocnv 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
39 f1of 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4026, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4140ffvelrnda 5947 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
42 elfzle2 11567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4424adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
45 fzssuz 11611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
46 uzssz 10986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
47 zssre 10759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4846, 47sstri 3468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4945, 48sstri 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
50 ressxr 9533 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5149, 50sstri 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
533adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
54 uzssz 10986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5554, 47sstri 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5653, 55syl6ss 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  RR )
5756, 50syl6ss 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5832adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
59 leisorel 12326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6143, 60mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  <_  ( K `  N ) )
6237, 61eqbrtrrd 4417 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  <_  ( K `  N
) )
63 eluzelz 10976 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6435, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
65 eluzelz 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6634, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6766adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
68 eluz 10980 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7062, 69mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
71 elfzuzb 11559 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
7235, 70, 71sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7372ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7473ssrdv 3465 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
751, 2, 34, 74fsumcvg 13302 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
76 addid2 9658 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0  +  m )  =  m )
7776adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 0  +  m )  =  m )
78 addid1 9655 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  +  0 )  =  m )
7978adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  +  0 )  =  m )
80 addcl 9470 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  +  x
)  e.  CC )
8180adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  +  x
)  e.  CC )
82 0cnd 9485 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
8332, 21eleqtrrd 2543 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
84 iftrue 3900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8685, 2eqeltrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
8786ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
88 iffalse 3902 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
89 0cn 9484 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9088, 89syl6eqel 2548 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9187, 90pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
9291adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9392, 1fmptd 5971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
94 elfzelz 11565 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
95 ffvelrn 5945 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9693, 94, 95syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
97 fveq2 5794 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
9897eqeq1d 2454 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  0  <->  ( F `  m )  =  0 ) )
99 eldifi 3581 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
100 elfzelz 11565 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10199, 100syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
102 eldifn 3582 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
103102, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
104103, 89syl6eqel 2548 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1051fvmpt2 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106, 103eqtrd 2493 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  0 )
10898, 107vtoclga 3136 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  0 )
109108adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  0 )
110 isof1o 6120 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
111 f1of 5744 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1124, 110, 1113syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
113112ffvelrnda 5947 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
114 iftrue 3900 . . . . . 6  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
1163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
117116, 113sseldd 3460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
118 eluzelz 10976 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
119117, 118syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
120 nfv 1674 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
121 nfv 1674 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
122 nfcsb1v 3406 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
123 nfcv 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
124121, 122, 123nfif 3921 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )
125124nfel1 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
126120, 125nfim 1857 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
127 fvex 5804 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
128 eleq1 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
129 csbeq1a 3399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
130128, 129ifbieq1d 3915 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
131130eleq1d 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
132131imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) ) )
133126, 127, 132, 91vtoclf 3123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
135 eleq1 2524 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
136 csbeq1 3393 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
137135, 136ifbieq1d 3915 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
138 nfcv 2614 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
139 nfv 1674 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
140 nfcsb1v 3406 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
141139, 140, 123nfif 3921 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
142 eleq1 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
143 csbeq1a 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
144142, 143ifbieq1d 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
145138, 141, 144cbvmpt 4485 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
1461, 145eqtri 2481 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
147137, 146fvmptg 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
148119, 134, 147syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
149 elfznn 11590 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
150149adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
151115, 134eqeltrrd 2541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
152 fveq2 5794 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  ( K `  n )  =  ( K `  x ) )
153152csbeq1d 3397 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
154 summolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
155153, 154fvmptg 5876 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
156150, 151, 155syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
157115, 148, 1563eqtr4rd 2504 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
15877, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 157seqcoll 12329 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
159 summo.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
16016, 16jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1611, 2, 159, 154, 160, 5, 26summolem3 13304 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
162158, 161eqtr4d 2496 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N ) )
16375, 162breqtrd 4419 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   [_csb 3390    \ cdif 3428    C_ wss 3431   ifcif 3894   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4942   -->wf 5517   -1-1-onto->wf1o 5520   ` cfv 5521    Isom wiso 5522  (class class class)co 6195    ~~ cen 7412   Fincfn 7415   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391   RR*cxr 9523    < clt 9524    <_ cle 9525   NNcn 10428   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549    seqcseq 11918   #chash 12215    ~~> cli 13075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079
This theorem is referenced by:  summolem2  13306  zsum  13308
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