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Theorem summolem2a 13858
Description: Lemma for summo 13860. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
summolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
summolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
summolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
summolem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    f, k, n, A    f, F, k, n    k, G, n   
k, K, n    k, N, n    ph, k, n    B, f, n    k, M, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( k)    G( f)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2 summo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 summolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 summolem2.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 7608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
108ensymd 7638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
11 enfii 7807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
129, 10, 11syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 hashen 12568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
149, 12, 13syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
158, 14mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
17 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
18 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2015, 19eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2120oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
22 isoeq4 6231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
244, 23mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
25 isof1o 6234 . . . . . . 7  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5828 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2826, 27syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
29 nnuz 11218 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3016, 29syl6eleq 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
31 eluzfz2 11833 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3230, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
3328, 32ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
343, 33sseldd 3419 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
353sselda 3418 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n ) )  =  n )
3726, 36sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  =  n )
38 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
39 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4026, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4140ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
42 elfzle2 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4424adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
45 fzssuz 11865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
46 uzssz 11202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
47 zssre 10968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4846, 47sstri 3427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4945, 48sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
50 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5149, 50sstri 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
533adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
54 uzssz 11202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5554, 47sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5653, 55syl6ss 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  RR )
5756, 50syl6ss 3430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5832adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
59 leisorel 12664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6143, 60mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  <_  ( K `  N ) )
6237, 61eqbrtrrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  <_  ( K `  N
) )
63 eluzelz 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6435, 63syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
65 eluzelz 11192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6634, 65syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6766adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
68 eluz 11196 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
6964, 67, 68syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7062, 69mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
71 elfzuzb 11820 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
7235, 70, 71sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7372ex 441 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7473ssrdv 3424 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
751, 2, 34, 74fsumcvg 13855 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
76 addid2 9834 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0  +  m )  =  m )
7776adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 0  +  m )  =  m )
78 addid1 9831 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  +  0 )  =  m )
7978adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  +  0 )  =  m )
80 addcl 9639 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  +  x
)  e.  CC )
8180adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  +  x
)  e.  CC )
82 0cnd 9654 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
8332, 21eleqtrrd 2552 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
84 iftrue 3878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8584adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8685, 2eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
8786ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
88 iffalse 3881 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
89 0cn 9653 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9088, 89syl6eqel 2557 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9187, 90pm2.61d1 164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
9291adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9392, 1fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
94 elfzelz 11826 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
95 ffvelrn 6035 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9693, 94, 95syl2an 485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
97 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
9897eqeq1d 2473 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  0  <->  ( F `  m )  =  0 ) )
99 eldifi 3544 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
100 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
102 eldifn 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
103102, 88syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
104103, 89syl6eqel 2557 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1051fvmpt2 5972 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
106101, 104, 105syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106, 103eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  0 )
10898, 107vtoclga 3099 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  0 )
109108adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  0 )
110 isof1o 6234 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
111 f1of 5828 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1124, 110, 1113syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
113112ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
114113iftrued 3880 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
1153adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
116115, 113sseldd 3419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
117 eluzelz 11192 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
118116, 117syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
119 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
120 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
121 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
122 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
123120, 121, 122nfif 3901 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )
124123nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
125119, 124nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
126 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
127 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
128 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
129127, 128ifbieq1d 3895 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
130129eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
131130imbi2d 323 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) ) )
132125, 126, 131, 91vtoclf 3085 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
133132adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
134 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
135 csbeq1 3352 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
136134, 135ifbieq1d 3895 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
137 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
138 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
139 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
140138, 139, 122nfif 3901 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
141 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
142 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
143141, 142ifbieq1d 3895 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
144137, 140, 143cbvmpt 4487 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
1451, 144eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
146136, 145fvmptg 5961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
147118, 133, 146syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
148 elfznn 11854 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
149148adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
150114, 133eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
151 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  ( K `  n )  =  ( K `  x ) )
152151csbeq1d 3356 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
153 summolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
154152, 153fvmptg 5961 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
155149, 150, 154syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
156114, 147, 1553eqtr4rd 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
15777, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156seqcoll 12668 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
158 summo.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
15916, 16jca 541 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1601, 2, 158, 153, 159, 5, 26summolem3 13857 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
161157, 160eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N ) )
16275, 161breqtrd 4420 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   [_csb 3349    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589    Isom wiso 5590  (class class class)co 6308    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    seqcseq 12251   #chash 12553    ~~> cli 13625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629
This theorem is referenced by:  summolem2  13859  zsum  13861
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