Theorem summolem2a 13500

Description: Lemma for summo 13502. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
summo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summo.3	|- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
summolem2.4	|- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
summolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
summolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
summolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
summolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
summolem2a	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, A   f, F, k, n   k, G, n   k, K, n   k, N, n   ph, k, n   B, f, n   k, M, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( k)   G( f)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summolem2a

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		summo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
2		summo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		summolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
4		summolem2.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
5		summolem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6		ovex 6309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) e. _V
7	6	f1oen 7536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... N ) ~~ A )
8	5, 7	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) ~~ A )
9		fzfid 12051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10	8	ensymd 7566	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A ~~ ( 1 ... N ) )
11		enfii 7737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... N ) ) -> A e. Fin )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
13		hashen 12388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
15	8, 14	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) )
16		summolem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
17		nnnn0 10802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
18		hashfz1 12387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	15, 19	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` A ) = N )
21	20	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
22		isoeq4 6206	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
24	4, 23	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
25		isof1o 6209	. . . . . . 7 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26	24, 25	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5816	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
28	26, 27	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
29		nnuz 11117	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	16, 29	syl6eleq 2565	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		eluzfz2 11694	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
32	30, 31	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
33	28, 32	ffvelrnd 6022	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
34	3, 33	sseldd 3505	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
35	3	sselda 3504	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		f1ocnvfv2 6171	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
37	26, 36	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
38		f1ocnv 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
39		f1of 5816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
40	26, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
41	40	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) )
42		elfzle2 11690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
43	41, 42	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
44	24	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
45		fzssuz 11724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
46		uzssz 11101	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
47		zssre 10871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
48	46, 47	sstri 3513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
49	45, 48	sstri 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
50		ressxr 9637	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
51	49, 50	sstri 3513	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
53	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
54		uzssz 11101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
55	54, 47	sstri 3513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
56	53, 55	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR )
57	56, 50	syl6ss 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR* )
58	32	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
59		leisorel 12475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
61	43, 60	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) )
62	37, 61	eqbrtrrd 4469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n <_ ( K ` N ) )
63		eluzelz 11091	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
64	35, 63	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
65		eluzelz 11091	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
66	34, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
67	66	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
68		eluz 11095	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
70	62, 69	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) )
71		elfzuzb 11682	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
72	35, 70, 71	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) )
73	72	ex 434	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
74	73	ssrdv 3510	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
75	1, 2, 34, 74	fsumcvg 13497	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) )
76		addid2 9762	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 0 + m ) = m )
77	76	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 0 + m ) = m )
78		addid1 9759	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
79	78	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
80		addcl 9574	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m + x ) e. CC )
81	80	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m + x ) e. CC )
82		0cnd 9589	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
83	32, 21	eleqtrrd 2558	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
84		iftrue 3945	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
86	85, 2	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
87	86	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
88		iffalse 3948	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
89		0cn 9588	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
90	88, 89	syl6eqel 2563	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
91	87, 90	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
92	91	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
93	92, 1	fmptd 6045	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
94		elfzelz 11688	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
95		ffvelrn 6019	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
96	93, 94, 95	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
97		fveq2 5866	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
98	97	eqeq1d 2469	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
99		eldifi 3626	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) )
100		elfzelz 11688	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> k e. ZZ )
101	99, 100	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
102		eldifn 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
103	102, 88	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
104	103, 89	syl6eqel 2563	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
105	1	fvmpt2 5957	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
107	106, 103	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
108	98, 107	vtoclga 3177	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
109	108	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
110		isof1o 6209	. . . . . . . 8 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
111		f1of 5816	. . . . . . . 8 |- ( K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
112	4, 110, 111	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
113	112	ffvelrnda 6021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
114		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( ( K ` x ) e. A -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
115	113, 114	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
116	3	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
117	116, 113	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
118		eluzelz 11091	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
119	117, 118	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
120		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
121		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
122		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
123		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
124	121, 122, 123	nfif 3968	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 )
125	124	nfel1 2645	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
126	120, 125	nfim 1867	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
127		fvex 5876	. . . . . . . 8 |- ( K ` x ) e. _V
128		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
129		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
130	128, 129	ifbieq1d 3962	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
131	130	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
132	131	imbi2d 316	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) <-> ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) ) )
133	126, 127, 132, 91	vtoclf 3164	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
134	133	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
135		eleq1 2539	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
136		csbeq1 3438	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
137	135, 136	ifbieq1d 3962	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
138		nfcv 2629	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
139		nfv 1683	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
140		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
141	139, 140, 123	nfif 3968	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
142		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
143		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
144	142, 143	ifbieq1d 3962	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
145	138, 141, 144	cbvmpt 4537	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
146	1, 145	eqtri 2496	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
147	137, 146	fvmptg 5948	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
148	119, 134, 147	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
149		elfznn 11714	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
150	149	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. NN )
151	115, 134	eqeltrrd 2556	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
152		fveq2 5866	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( K ` n ) = ( K ` x ) )
153	152	csbeq1d 3442	. . . . . . 7 |- ( n = x -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
154		summolem2.4	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
155	153, 154	fvmptg 5948	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
156	150, 151, 155	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
157	115, 148, 156	3eqtr4rd 2519	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
158	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 157	seqcoll 12478	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
159		summo.3	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
160	16, 16	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
161	1, 2, 159, 154, 160, 5, 26	summolem3 13499	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
162	158, 161	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
163	75, 162	breqtrd 4471	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   [_csb 3435   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   Isom wiso 5589  (class class class)co 6284   ~~ cen 7513   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   RR*cxr 9627   < clt 9628   <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   seqcseq 12075   #chash 12373   ~~> cli 13270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274

This theorem is referenced by:  summolem2  13501  zsum  13503