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Theorem summolem2a 13781
Description: Lemma for summo 13783. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
summolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
summolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
summolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
summolem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    f, k, n, A    f, F, k, n    k, G, n   
k, K, n    k, N, n    ph, k, n    B, f, n    k, M, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( k)    G( f)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2 summo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 summolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 summolem2.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 7590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 12186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
108ensymd 7620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
11 enfii 7789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
129, 10, 11syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 hashen 12530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
149, 12, 13syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
158, 14mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
17 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
18 hashfz1 12529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2015, 19eqtr3d 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2120oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
22 isoeq4 6213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
244, 23mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
25 isof1o 6216 . . . . . . 7  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5814 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2826, 27syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
29 nnuz 11194 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3016, 29syl6eleq 2539 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
31 eluzfz2 11807 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3230, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
3328, 32ffvelrnd 6023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
343, 33sseldd 3433 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
353sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 f1ocnvfv2 6176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n ) )  =  n )
3726, 36sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  =  n )
38 f1ocnv 5826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
39 f1of 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4026, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4140ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
42 elfzle2 11803 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4424adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
45 fzssuz 11839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
46 uzssz 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
47 zssre 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4846, 47sstri 3441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4945, 48sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
50 ressxr 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5149, 50sstri 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
533adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
54 uzssz 11178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5554, 47sstri 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5653, 55syl6ss 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  RR )
5756, 50syl6ss 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5832adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
59 leisorel 12623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6143, 60mpbid 214 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  <_  ( K `  N ) )
6237, 61eqbrtrrd 4425 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  <_  ( K `  N
) )
63 eluzelz 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6435, 63syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
65 eluzelz 11168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6634, 65syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6766adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
68 eluz 11172 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
6964, 67, 68syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7062, 69mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
71 elfzuzb 11794 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
7235, 70, 71sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7372ex 436 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7473ssrdv 3438 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
751, 2, 34, 74fsumcvg 13778 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
76 addid2 9816 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0  +  m )  =  m )
7776adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 0  +  m )  =  m )
78 addid1 9813 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  +  0 )  =  m )
7978adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  +  0 )  =  m )
80 addcl 9621 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  +  x
)  e.  CC )
8180adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  +  x
)  e.  CC )
82 0cnd 9636 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
8332, 21eleqtrrd 2532 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
84 iftrue 3887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8584adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8685, 2eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
8786ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
88 iffalse 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
89 0cn 9635 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9088, 89syl6eqel 2537 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9187, 90pm2.61d1 163 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
9291adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9392, 1fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
94 elfzelz 11800 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
95 ffvelrn 6020 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9693, 94, 95syl2an 480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
97 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
9897eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  0  <->  ( F `  m )  =  0 ) )
99 eldifi 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
100 elfzelz 11800 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
102 eldifn 3556 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
103102, 88syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
104103, 89syl6eqel 2537 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1051fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
106101, 104, 105syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106, 103eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  0 )
10898, 107vtoclga 3113 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  0 )
109108adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  0 )
110 isof1o 6216 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
111 f1of 5814 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1124, 110, 1113syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
113112ffvelrnda 6022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
114113iftrued 3889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
1153adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
116115, 113sseldd 3433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
117 eluzelz 11168 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
118116, 117syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
119 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
120 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
121 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
122 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
123120, 121, 122nfif 3910 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )
124123nfel1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
125119, 124nfim 2003 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
126 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
127 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
128 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
129127, 128ifbieq1d 3904 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
130129eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
131130imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) ) )
132125, 126, 131, 91vtoclf 3099 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
133132adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
134 eleq1 2517 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
135 csbeq1 3366 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
136134, 135ifbieq1d 3904 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
137 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
138 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
139 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
140138, 139, 122nfif 3910 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
141 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
142 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
143141, 142ifbieq1d 3904 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
144137, 140, 143cbvmpt 4494 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
1451, 144eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
146136, 145fvmptg 5946 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
147118, 133, 146syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
148 elfznn 11828 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
149148adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
150114, 133eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
151 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  ( K `  n )  =  ( K `  x ) )
152151csbeq1d 3370 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
153 summolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
154152, 153fvmptg 5946 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
155149, 150, 154syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
156114, 147, 1553eqtr4rd 2496 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
15777, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156seqcoll 12627 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
158 summo.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
15916, 16jca 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1601, 2, 158, 153, 159, 5, 26summolem3 13780 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
161157, 160eqtr4d 2488 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N ) )
16275, 161breqtrd 4427 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   [_csb 3363    \ cdif 3401    C_ wss 3404   ifcif 3881   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582    Isom wiso 5583  (class class class)co 6290    ~~ cen 7566   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784    seqcseq 12213   #chash 12515    ~~> cli 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552
This theorem is referenced by:  summolem2  13782  zsum  13784
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