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Theorem summolem2a 13500
Description: Lemma for summo 13502. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
summolem2.5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
summolem2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
summolem2.7  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
summolem2.8  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
Assertion
Ref Expression
summolem2a  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Distinct variable groups:    f, k, n, A    f, F, k, n    k, G, n   
k, K, n    k, N, n    ph, k, n    B, f, n    k, M, n
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( k)    G( f)    H( f, k, n)    K( f)    M( f)    N( f)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
2 summo.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 summolem2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
4 summolem2.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A ) )
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... N )  e. 
_V
76f1oen 7536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  ( 1 ... N )  ~~  A )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  ~~  A )
9 fzfid 12051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
108ensymd 7566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  ~~  ( 1 ... N ) )
11 enfii 7737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  Fin )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 hashen 12388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
149, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... N )  ~~  A
) )
158, 14mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  ( # `  A
) )
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
17 nnnn0 10802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
18 hashfz1 12387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
2015, 19eqtr3d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  N )
2120oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... N ) )
22 isoeq4 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... N
)  ->  ( K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  <->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N ) ,  A
) ) )
244, 23mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A ) )
25 isof1o 6209 . . . . . . 7  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A )  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5816 . . . . . 6  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... N
) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... N ) --> A )
29 nnuz 11117 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3016, 29syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
31 eluzfz2 11694 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... N ) )
3328, 32ffvelrnd 6022 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  A )
343, 33sseldd 3505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  M ) )
353sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
36 f1ocnvfv2 6171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n ) )  =  n )
3726, 36sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  =  n )
38 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A  ->  `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N
) )
39 f1of 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N )  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4026, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' K : A --> ( 1 ... N ) )
4140ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N ) )
42 elfzle2 11690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( `' K `  n )  <_  N )
4424adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  K  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... N
) ,  A ) )
45 fzssuz 11724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... N )  C_  ( ZZ>= `  1 )
46 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
47 zssre 10871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  C_  RR
4846, 47sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  RR
4945, 48sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  RR
50 ressxr 9637 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  RR*
5149, 50sstri 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
1 ... N )  C_  RR* )
533adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M )
)
54 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5554, 47sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  RR
5653, 55syl6ss 3516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_  RR )
5756, 50syl6ss 3516 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  A  C_ 
RR* )
5832adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  N  e.  ( 1 ... N
) )
59 leisorel 12475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... N
) ,  A )  /\  ( ( 1 ... N )  C_  RR* 
/\  A  C_  RR* )  /\  ( ( `' K `  n )  e.  ( 1 ... N )  /\  N  e.  ( 1 ... N ) ) )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1237 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( `' K `  n )  <_  N  <->  ( K `  ( `' K `  n ) )  <_  ( K `  N ) ) )
6143, 60mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  ( `' K `  n )
)  <_  ( K `  N ) )
6237, 61eqbrtrrd 4469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  <_  ( K `  N
) )
63 eluzelz 11091 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  n  e.  ZZ )
6435, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ZZ )
65 eluzelz 11091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
6634, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K `  N
)  e.  ZZ )
6766adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ZZ )
68 eluz 11095 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  ( K `  N )  e.  ZZ )  -> 
( ( K `  N )  e.  (
ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  (
( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n )  <->  n  <_  ( K `  N ) ) )
7062, 69mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  ( K `  N )  e.  ( ZZ>= `  n )
)
71 elfzuzb 11682 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( M ... ( K `  N ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ( K `  N
)  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
7235, 70, 71sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  A )  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N )
) )
7372ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  A  ->  n  e.  ( M ... ( K `  N ) ) ) )
7473ssrdv 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  ( M ... ( K `  N
) ) )
751, 2, 34, 74fsumcvg 13497 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq M (  +  ,  F ) `  ( K `  N )
) )
76 addid2 9762 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
0  +  m )  =  m )
7776adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( 0  +  m )  =  m )
78 addid1 9759 . . . . 5  |-  ( m  e.  CC  ->  (
m  +  0 )  =  m )
7978adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  CC )  ->  ( m  +  0 )  =  m )
80 addcl 9574 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( m  +  x
)  e.  CC )
8180adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  -> 
( m  +  x
)  e.  CC )
82 0cnd 9589 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
8332, 21eleqtrrd 2558 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
84 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
8685, 2eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
8786ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC ) )
88 iffalse 3948 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
89 0cn 9588 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  CC
9088, 89syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9187, 90pm2.61d1 159 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B , 
0 )  e.  CC )
9291adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
9392, 1fmptd 6045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : ZZ --> CC )
94 elfzelz 11688 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
95 ffvelrn 6019 . . . . 5  |-  ( ( F : ZZ --> CC  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
9693, 94, 95syl2an 477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )  ->  ( F `  m )  e.  CC )
97 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
9897eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  (
( F `  k
)  =  0  <->  ( F `  m )  =  0 ) )
99 eldifi 3626 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ( M ... ( K `
 ( # `  A
) ) ) )
100 elfzelz 11688 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
10199, 100syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  k  e.  ZZ )
102 eldifn 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  -.  k  e.  A )
103102, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
104103, 89syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  if (
k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
1051fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
106101, 104, 105syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106, 103eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  k )  =  0 )
10898, 107vtoclga 3177 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) )  \  A
)  ->  ( F `  m )  =  0 )
109108adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( ( M ... ( K `  ( # `  A ) ) ) 
\  A ) )  ->  ( F `  m )  =  0 )
110 isof1o 6209 . . . . . . . 8  |-  ( K 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
111 f1of 5816 . . . . . . . 8  |-  ( K : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  K :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
1124, 110, 1113syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
113112ffvelrnda 6021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  A
)
114 iftrue 3945 . . . . . 6  |-  ( ( K `  x )  e.  A  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B )
1163adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
117116, 113sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  (
ZZ>= `  M ) )
118 eluzelz 11091 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  x )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
119117, 118syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( K `  x )  e.  ZZ )
120 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
ph
121 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( K `  x
)  e.  A
122 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B
123 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
124121, 122, 123nfif 3968 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )
125124nfel1 2645 . . . . . . . . 9  |-  F/ k if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC
126120, 125nfim 1867 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  ->  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
127 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 x )  e. 
_V
128 eleq1 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
k  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
129 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
130128, 129ifbieq1d 3962 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
131130eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  ( if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC  <->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) )
132131imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( K `  x )  ->  (
( ph  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  <->  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC ) ) )
133126, 127, 132, 91vtoclf 3164 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( ( K `
 x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  if (
( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
135 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  (
n  e.  A  <->  ( K `  x )  e.  A
) )
136 csbeq1 3438 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
137135, 136ifbieq1d 3962 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( K `  x )  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
138 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
139 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k  n  e.  A
140 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
141139, 140, 123nfif 3968 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
142 eleq1 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
143 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
144142, 143ifbieq1d 3962 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
145138, 141, 144cbvmpt 4537 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
1461, 145eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
147137, 146fvmptg 5948 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  x
)  e.  ZZ  /\  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( F `  ( K `  x )
)  =  if ( ( K `  x
)  e.  A ,  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
148119, 134, 147syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( F `  ( K `  x
) )  =  if ( ( K `  x )  e.  A ,  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B ,  0 ) )
149 elfznn 11714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
150149adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  NN )
151115, 134eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  [_ ( K `
 x )  / 
k ]_ B  e.  CC )
152 fveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  ( K `  n )  =  ( K `  x ) )
153152csbeq1d 3442 . . . . . . 7  |-  ( n  =  x  ->  [_ ( K `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B )
154 summolem2.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( K `  n
)  /  k ]_ B )
155153, 154fvmptg 5948 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  [_ ( K `  x
)  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( H `  x
)  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
156150, 151, 155syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  [_ ( K `  x )  /  k ]_ B
)
157115, 148, 1563eqtr4rd 2519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( H `  x )  =  ( F `  ( K `
 x ) ) )
15877, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 157seqcoll 12478 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
159 summo.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
16016, 16jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )
1611, 2, 159, 154, 160, 5, 26summolem3 13499 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 N ) )
162158, 161eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( K `  N ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 N ) )
16375, 162breqtrd 4471 1  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   [_csb 3435    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6284    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075   #chash 12373    ~~> cli 13270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274
This theorem is referenced by:  summolem2  13501  zsum  13503
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