Theorem summolem2a 13686

Description: Lemma for summo 13688. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
summo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summo.3	|- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
summolem2.4	|- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
summolem2.5	|- ( ph -> N e. NN )
summolem2.6	|- ( ph -> M e. ZZ )
summolem2.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
summolem2.8	|- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
summolem2.9	|- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )

Assertion

Ref	Expression
summolem2a	|- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   f, k, n, A   f, F, k, n   k, G, n   k, K, n   k, N, n   ph, k, n   B, f, n   k, M, n

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( k)   G( f)   H( f, k, n)   K( f)   M( f)   N( f)

Proof of Theorem summolem2a

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		summo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
2		summo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		summolem2.7	. . . 4 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
4		summolem2.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
5		summolem2.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
6		ovex 6306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... N ) e. _V
7	6	f1oen 7574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... N ) ~~ A )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... N ) ~~ A )
9		fzfid 12124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10	8	ensymd 7604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A ~~ ( 1 ... N ) )
11		enfii 7772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... N ) ) -> A e. Fin )
12	9, 10, 11	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
13		hashen 12467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
14	9, 12, 13	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) <-> ( 1 ... N ) ~~ A ) )
15	8, 14	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = ( # ` A ) )
16		summolem2.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
17		nnnn0 10843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
18		hashfz1 12466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
20	15, 19	eqtr3d 2445	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( # ` A ) = N )
21	20	oveq2d 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) )
22		isoeq4 6201	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) = ( 1 ... N ) -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) <-> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) ) )
24	4, 23	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ph -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
25		isof1o 6204	. . . . . . 7 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A )
27		f1of 5799	. . . . . 6 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... N ) --> A )
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K : ( 1 ... N ) --> A )
29		nnuz 11162	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
30	16, 29	syl6eleq 2500	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
31		eluzfz2 11748	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> N e. ( 1 ... N ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... N ) )
33	28, 32	ffvelrnd 6010	. . . 4 |- ( ph -> ( K ` N ) e. A )
34	3, 33	sseldd 3443	. . 3 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
35	3	sselda 3442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
36		f1ocnvfv2 6164	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
37	26, 36	sylan 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) = n )
38		f1ocnv 5811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K : ( 1 ... N ) -1-1-onto-> A -> `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) )
39		f1of 5799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' K : A -1-1-onto-> ( 1 ... N ) -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
40	26, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' K : A --> ( 1 ... N ) )
41	40	ffvelrnda 6009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) )
42		elfzle2 11744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( `' K ` n ) <_ N )
44	24	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) )
45		fzssuz 11779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
46		uzssz 11146	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
47		zssre 10912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ZZ C_ RR
48	46, 47	sstri 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ RR
49	45, 48	sstri 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... N ) C_ RR
50		ressxr 9667	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ RR*
51	49, 50	sstri 3451	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... N ) C_ RR*
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( 1 ... N ) C_ RR* )
53	3	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
54		uzssz 11146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
55	54, 47	sstri 3451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
56	53, 55	syl6ss 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR )
57	56, 50	syl6ss 3454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> A C_ RR* )
58	32	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> N e. ( 1 ... N ) )
59		leisorel 12558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K Isom < , < ( ( 1 ... N ) , A ) /\ ( ( 1 ... N ) C_ RR* /\ A C_ RR* ) /\ ( ( `' K ` n ) e. ( 1 ... N ) /\ N e. ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
60	44, 52, 57, 41, 58, 59	syl122anc 1239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( `' K ` n ) <_ N <-> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) ) )
61	43, 60	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` ( `' K ` n ) ) <_ ( K ` N ) )
62	37, 61	eqbrtrrd 4417	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n <_ ( K ` N ) )
63		eluzelz 11136	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
64	35, 63	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ZZ )
65		eluzelz 11136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
66	34, 65	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ` N ) e. ZZ )
67	66	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ZZ )
68		eluz 11140	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ ( K ` N ) e. ZZ ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
69	64, 67, 68	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) <-> n <_ ( K ` N ) ) )
70	62, 69	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) )
71		elfzuzb 11736	. . . . . 6 |- ( n e. ( M ... ( K ` N ) ) <-> ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( K ` N ) e. ( ZZ>= ` n ) ) )
72	35, 70, 71	sylanbrc 662	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) )
73	72	ex 432	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A -> n e. ( M ... ( K ` N ) ) ) )
74	73	ssrdv 3448	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( M ... ( K ` N ) ) )
75	1, 2, 34, 74	fsumcvg 13683	. 2 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) )
76		addid2 9797	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( 0 + m ) = m )
77	76	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( 0 + m ) = m )
78		addid1 9794	. . . . 5 |- ( m e. CC -> ( m + 0 ) = m )
79	78	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. CC ) -> ( m + 0 ) = m )
80		addcl 9604	. . . . 5 |- ( ( m e. CC /\ x e. CC ) -> ( m + x ) e. CC )
81	80	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( m + x ) e. CC )
82		0cnd 9619	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
83	32, 21	eleqtrrd 2493	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( 1 ... ( # ` A ) ) )
84		iftrue 3891	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
85	84	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = B )
86	85, 2	eqeltrd 2490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
87	86	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) )
88		iffalse 3894	. . . . . . . . 9 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
89		0cn 9618	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
90	88, 89	syl6eqel 2498	. . . . . . . 8 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
91	87, 90	pm2.61d1 159	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
92	91	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
93	92, 1	fmptd 6033	. . . . 5 |- ( ph -> F : ZZ --> CC )
94		elfzelz 11742	. . . . 5 |- ( m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> m e. ZZ )
95		ffvelrn 6007	. . . . 5 |- ( ( F : ZZ --> CC /\ m e. ZZ ) -> ( F ` m ) e. CC )
96	93, 94, 95	syl2an 475	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) ) -> ( F ` m ) e. CC )
97		fveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
98	97	eqeq1d 2404	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( ( F ` k ) = 0 <-> ( F ` m ) = 0 ) )
99		eldifi 3565	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) )
100		elfzelz 11742	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) -> k e. ZZ )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> k e. ZZ )
102		eldifn 3566	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> -. k e. A )
103	102, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = 0 )
104	103, 89	syl6eqel 2498	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
105	1	fvmpt2 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
107	106, 103	eqtrd 2443	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` k ) = 0 )
108	98, 107	vtoclga 3123	. . . . 5 |- ( m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) -> ( F ` m ) = 0 )
109	108	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ( M ... ( K ` ( # ` A ) ) ) \ A ) ) -> ( F ` m ) = 0 )
110		isof1o 6204	. . . . . . . 8 |- ( K Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
111		f1of 5799	. . . . . . . 8 |- ( K : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
112	4, 110, 111	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> K : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
113	112	ffvelrnda 6009	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. A )
114	113	iftrued 3893	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
115	3	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 113	sseldd 3443	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
117		eluzelz 11136	. . . . . . 7 |- ( ( K ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
118	116, 117	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( K ` x ) e. ZZ )
119		nfv 1728	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
120		nfv 1728	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( K ` x ) e. A
121		nfcsb1v 3389	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ ( K ` x ) / k ]_ B
122		nfcv 2564	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
123	120, 121, 122	nfif 3914	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 )
124	123	nfel1 2580	. . . . . . . . 9 |- F/ k if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC
125	119, 124	nfim 1948	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
126		fvex 5859	. . . . . . . 8 |- ( K ` x ) e. _V
127		eleq1 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> ( k e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
128		csbeq1a 3382	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( K ` x ) -> B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
129	127, 128	ifbieq1d 3908	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K ` x ) -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
130	129	eleq1d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K ` x ) -> ( if ( k e. A , B , 0 ) e. CC <-> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) )
131	130	imbi2d 314	. . . . . . . 8 |- ( k = ( K ` x ) -> ( ( ph -> if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) <-> ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) ) )
132	125, 126, 131, 91	vtoclf 3110	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
133	132	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC )
134		eleq1 2474	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> ( n e. A <-> ( K ` x ) e. A ) )
135		csbeq1 3376	. . . . . . . 8 |- ( n = ( K ` x ) -> [_ n / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
136	134, 135	ifbieq1d 3908	. . . . . . 7 |- ( n = ( K ` x ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
137		nfcv 2564	. . . . . . . . 9 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
138		nfv 1728	. . . . . . . . . 10 |- F/ k n e. A
139		nfcsb1v 3389	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
140	138, 139, 122	nfif 3914	. . . . . . . . 9 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
141		eleq1 2474	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
142		csbeq1a 3382	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
143	141, 142	ifbieq1d 3908	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
144	137, 140, 143	cbvmpt 4486	. . . . . . . 8 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
145	1, 144	eqtri 2431	. . . . . . 7 |- F = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
146	136, 145	fvmptg 5930	. . . . . 6 |- ( ( ( K ` x ) e. ZZ /\ if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
147	118, 133, 146	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( F ` ( K ` x ) ) = if ( ( K ` x ) e. A , [_ ( K ` x ) / k ]_ B , 0 ) )
148		elfznn 11768	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) -> x e. NN )
149	148	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> x e. NN )
150	114, 133	eqeltrrd 2491	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC )
151		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( n = x -> ( K ` n ) = ( K ` x ) )
152	151	csbeq1d 3380	. . . . . . 7 |- ( n = x -> [_ ( K ` n ) / k ]_ B = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
153		summolem2.4	. . . . . . 7 |- H = ( n e. NN |-> [_ ( K ` n ) / k ]_ B )
154	152, 153	fvmptg 5930	. . . . . 6 |- ( ( x e. NN /\ [_ ( K ` x ) / k ]_ B e. CC ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
155	149, 150, 154	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = [_ ( K ` x ) / k ]_ B )
156	114, 147, 155	3eqtr4rd 2454	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( H ` x ) = ( F ` ( K ` x ) ) )
157	77, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156	seqcoll 12561	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
158		summo.3	. . . 4 |- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
159	16, 16	jca 530	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ N e. NN ) )
160	1, 2, 158, 153, 159, 5, 26	summolem3 13685	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) = ( seq 1 ( + , H ) ` N ) )
161	157, 160	eqtr4d 2446	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , F ) ` ( K ` N ) ) = ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )
162	75, 161	breqtrd 4419	1 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   [_csb 3373   \ cdif 3411   C_ wss 3414   ifcif 3885   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569   Isom wiso 5570  (class class class)co 6278   ~~ cen 7551   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   seqcseq 12151   #chash 12452   ~~> cli 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460

This theorem is referenced by:  summolem2  13687  zsum  13689