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Theorem summo 12466
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
Assertion
Ref Expression
summo  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, m, n, x, A    f, F, k, m, n, x   
k, G, m, n, x    ph, k, m, n    B, f, m, n, x    ph, x, f
Allowed substitution hints:    B( k)    G( f)

Proof of Theorem summo
Dummy variables  g 
j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  n )
)
21sseq2d 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  n ) ) )
3 seqeq1 11281 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  seq  m (  +  ,  F )  =  seq  n (  +  ,  F ) )
43breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y  <->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
52, 4anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
65cbvrexv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
7 reeanv 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )
9 summo.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
10 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  ph )
11 summo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1210, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
14 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
15 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
16 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  n ) )
179, 12, 13, 14, 15, 16sumrb 12462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  (  seq  m
(  +  ,  F
)  ~~>  x  <->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
188, 17mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x )
19 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )
20 climuni 12301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  x  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y )
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  x  =  y )
2221exp31 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2322rexlimdvv 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y )
)
247, 23syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
2524expdimp 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq  n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
266, 25syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
27 summo.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
289, 11, 27summolem2 12465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
2926, 28jaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
309, 11, 27summolem2 12465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  -> 
y  =  x ) )
31 equcom 1688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
3230, 31syl6ib 218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
3332impancom 428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
34 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
35 f1oeq2 5625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... n )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
37 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
) )
3837eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) ) )
3936, 38anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 n ) ) ) )
4039exbidv 1633 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) ) ) )
41 f1oeq1 5624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
42 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  n )  =  ( g `  n ) )
4342csbeq1d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B )
4443mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) )
4527, 44syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) )
4645seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  seq  1 (  +  ,  G )  =  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) )
4746fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )
4847eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
4941, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) ) ) )
5049cbvexv 2053 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
5140, 50syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
5251cbvrexv 2893 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
53 reeanv 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
54 eeanv 1933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
55 an4 798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )  /\  ( x  =  (  seq  1
(  +  ,  G
) `  m )  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
56 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
5756, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
58 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5958csbeq1d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
6059cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B
)
6127, 60eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
62 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
6362csbeq1d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
6463cbvmptv 4260 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
)
65 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )
66 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
67 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
689, 57, 61, 64, 65, 66, 67summolem3 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) )
69 eqeq12 2416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) ) )
7068, 69syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7170expimpd 587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7255, 71syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7372exlimdvv 1644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7454, 73syl5bir 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7574rexlimdvva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7653, 75syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7776expdimp 427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7852, 77syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
7933, 78jaod 370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8029, 79jaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8180expimpd 587 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
8281alrimivv 1639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
83 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
8483anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8584rexbidv 2687 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
86 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8786anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `
 m ) ) ) )
8887exbidv 1633 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
8988rexbidv 2687 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
9085, 89orbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) ) )
9190mo4 2287 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. y ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9282, 91sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq  m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq  1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255   E.wrex 2667   [_csb 3211    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278    ~~> cli 12233
This theorem is referenced by:  fsum  12469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237
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