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Theorem summo 13771
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
summo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summo.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
Assertion
Ref Expression
summo  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, m, n, x, A    f, F, k, m, n, x   
k, G, m, n, x    ph, k, m, n    B, f, m, n, x    ph, x, f
Allowed substitution hints:    B( k)    G( f)

Proof of Theorem summo
Dummy variables  g 
j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  n )
)
21sseq2d 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  n ) ) )
3 seqeq1 12216 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  seq m (  +  ,  F )  =  seq n (  +  ,  F ) )
43breq1d 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
52, 4anbi12d 715 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
65cbvrexv 3056 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )
7 reeanv 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )
9 summo.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
10 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  ph )
11 summo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1210, 11sylan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
13 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
14 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
15 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
16 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  n )
)
179, 12, 13, 14, 15, 16sumrb 13767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )
188, 17mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x )
19 simprrr 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )
20 climuni 13604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y )
2118, 19, 20syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  x  =  y )
2221exp31 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
2322rexlimdvv 2923 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
247, 23syl5bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
2524expdimp 438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
266, 25syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
27 summo.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )
289, 11, 27summolem2 13770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
2926, 28jaod 381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
309, 11, 27summolem2 13770 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  -> 
y  =  x ) )
31 equcom 1844 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
3230, 31syl6ib 229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  y )
)
3332impancom 441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y ) )
34 oveq2 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
35 f1oeq2 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... n )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
37 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
) )
3837eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) )
3936, 38anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 n ) ) ) )
4039exbidv 1758 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) ) )
41 f1oeq1 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
42 fveq1 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  n )  =  ( g `  n ) )
4342csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B )
4443mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) )
4527, 44syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) )
4645seqeq3d 12221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) )
4746fveq1d 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )
4847eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
4941, 48anbi12d 715 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
) ) `  n
) ) ) )
5049cbvexv 2078 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
5140, 50syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
5251cbvrexv 3056 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
53 reeanv 2996 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
54 eeanv 2043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
55 an4 831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  <-> 
( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )  /\  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) ) )
56 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
5756, 11sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
58 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
5958csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
6059cbvmptv 4513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B
)
6127, 60eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B )
62 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  (
g `  n )  =  ( g `  j ) )
6362csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
6463cbvmptv 4513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
g `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( j  e.  NN  |->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B
)
65 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )
66 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
67 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
689, 57, 61, 64, 65, 66, 67summolem3 13768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) )
69 eqeq12 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  -> 
( x  =  y  <-> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )
7068, 69syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7170expimpd 606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7255, 71syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7372exlimdvv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7454, 73syl5bir 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7574rexlimdvva 2924 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7653, 75syl5bir 221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n )  /  k ]_ B ) ) `  n ) ) )  ->  x  =  y ) )
7776expdimp 438 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( g `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  n ) )  ->  x  =  y )
)
7852, 77syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
7933, 78jaod 381 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8029, 79jaodan 792 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
8180expimpd 606 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
8281alrimivv 1764 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
83 breq2 4424 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
8483anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
8584rexbidv 2939 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
86 eqeq1 2426 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )
8786anbi2d 708 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) ) ) )
8887exbidv 1758 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
8988rexbidv 2939 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
9085, 89orbi12d 714 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) ) )
9190mo4 2313 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. y ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  y ) )
9282, 91sylibr 215 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   E*wmo 2266   E.wrex 2776   [_csb 3395    C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543   NNcn 10610   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785    seqcseq 12213    ~~> cli 13536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540
This theorem is referenced by:  fsum  13774
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