Theorem summo 13795

Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
summo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summo.3	|- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )

Assertion

Ref	Expression
summo	|- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, k, m, n, x, A   f, F, k, m, n, x   k, G, m, n, x   ph, k, m, n   B, f, m, n, x   ph, x, f

Allowed substitution hints:   B( k)   G( f)

Proof of Theorem summo

Dummy variables g j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` n ) )
2	1	sseq2d 3462	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` n ) ) )
3		seqeq1 12223	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> seq m ( + , F ) = seq n ( + , F ) )
4	3	breq1d 4415	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( seq m ( + , F ) ~~> y <-> seq n ( + , F ) ~~> y ) )
5	2, 4	anbi12d 718	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
6	5	cbvrexv 3022	. . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) )
7		reeanv 2960	. . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
8		simprlr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq m ( + , F ) ~~> x )
9		summo.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
10		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ph )
11		summo.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
12	10, 11	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
13		simplrl 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> m e. ZZ )
14		simplrr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> n e. ZZ )
15		simprll 773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
16		simprrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` n ) )
17	9, 12, 13, 14, 15, 16	sumrb 13791	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq n ( + , F ) ~~> x ) )
18	8, 17	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> x )
19		simprrr 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> y )
20		climuni 13628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq n ( + , F ) ~~> x /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y )
21	18, 19, 20	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> x = y )
22	21	exp31 609	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) ) )
23	22	rexlimdvv 2887	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
24	7, 23	syl5bir 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
25	24	expdimp 439	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
26	6, 25	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
27		summo.3	. . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
28	9, 11, 27	summolem2 13794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
29	26, 28	jaod 382	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
30	9, 11, 27	summolem2 13794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> y = x ) )
31		equcom 1864	. . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
32	30, 31	syl6ib 230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
33	32	impancom 442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
34		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
35		f1oeq2 5811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
37		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) )
38	37	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) )
39	36, 38	anbi12d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
40	39	exbidv 1770	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
41		f1oeq1 5810	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
42		fveq1 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( f ` n ) = ( g ` n ) )
43	42	csbeq1d 3372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( g ` n ) / k ]_ B )
44	43	mpteq2dv 4493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) )
45	27, 44	syl5eq 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> G = ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) )
46	45	seqeq3d 12228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) )
47	46	fveq1d 5872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( seq 1 ( + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) )
48	47	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) )
49	41, 48	anbi12d 718	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) )
50	49	cbvexv 2119	. . . . . . . . 9 |- ( E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) )
51	40, 50	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) )
52	51	cbvrexv 3022	. . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) )
53		reeanv 2960	. . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) )
54		eeanv 2080	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) )
55		an4 834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) )
56		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
57	56, 11	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
58		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
59	58	csbeq1d 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
60	59	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
61	27, 60	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
62		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> ( g ` n ) = ( g ` j ) )
63	62	csbeq1d 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> [_ ( g ` n ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
64	63	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) = ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
65		simplr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ n e. NN ) )
66		simprl 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
67		simprr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
68	9, 57, 61, 64, 65, 66, 67	summolem3 13792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) )
69		eqeq12 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) )
70	68, 69	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
71	70	expimpd 608	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
72	55, 71	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
73	72	exlimdvv 1782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
74	54, 73	syl5bir 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
75	74	rexlimdvva 2888	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
76	53, 75	syl5bir 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
77	76	expdimp 439	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> [_ ( g ` n ) / k ]_ B ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
78	52, 77	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
79	33, 78	jaod 382	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
80	29, 79	jaodan 795	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
81	80	expimpd 608	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
82	81	alrimivv 1776	. 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
83		breq2 4409	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq m ( + , F ) ~~> y ) )
84	83	anbi2d 711	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
85	84	rexbidv 2903	. . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
86		eqeq1 2457	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
87	86	anbi2d 711	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
88	87	exbidv 1770	. . . . 5 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
89	88	rexbidv 2903	. . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
90	85, 89	orbi12d 717	. . 3 |- ( x = y -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) )
91	90	mo4 2348	. 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
92	82, 91	sylibr 216	1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   A.wal 1444   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   E*wmo 2302   E.wrex 2740   [_csb 3365   C_ wss 3406   ifcif 3883   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   seqcseq 12220   ~~> cli 13560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564

This theorem is referenced by:  fsum  13798