MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumhash Structured version   Unicode version

Theorem sumhash 14286
Description: The sum of 1 over a set is the size of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumhash  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  1 ,  0 )  =  ( # `  A ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k

Proof of Theorem sumhash
StepHypRef Expression
1 ssfi 7750 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  Fin )
2 ax-1cn 9560 . . 3  |-  1  e.  CC
3 fsumconst 13580 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  A 
1  =  ( (
# `  A )  x.  1 ) )
41, 2, 3sylancl 662 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  sum_ k  e.  A  1  =  ( ( # `  A )  x.  1 ) )
5 simpr 461 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
62rgenw 2828 . . . 4  |-  A. k  e.  A  1  e.  CC
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  A. k  e.  A 
1  e.  CC )
8 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  Fin )
98olcd 393 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  -> 
( B  C_  ( ZZ>=
`  C )  \/  B  e.  Fin )
)
10 sumss2 13523 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  A. k  e.  A 
1  e.  CC )  /\  ( B  C_  ( ZZ>= `  C )  \/  B  e.  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  A  1  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  1 ,  0 ) )
115, 7, 9, 10syl21anc 1227 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  sum_ k  e.  A  1  =  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  1 ,  0 ) )
12 hashcl 12406 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
131, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  -> 
( # `  A )  e.  NN0 )
1413nn0cnd 10864 . . 3  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
1514mulid1d 9623 . 2  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  -> 
( ( # `  A
)  x.  1 )  =  ( # `  A
) )
164, 11, 153eqtr3d 2516 1  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B )  ->  sum_ k  e.  B  if ( k  e.  A ,  1 ,  0 )  =  ( # `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    C_ wss 3481   ifcif 3944   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Fincfn 7526   CCcc 9500   0cc0 9502   1c1 9503    x. cmul 9507   NN0cn0 10805   ZZ>=cuz 11092   #chash 12383   sum_csu 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-clim 13286  df-sum 13484
This theorem is referenced by:  pcfac  14289  ramcl  14418  bposlem1  23402
  Copyright terms: Public domain W3C validator