MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumfc Structured version   Unicode version

Theorem sumfc 13480
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumfc  |-  sum_ j  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  sum_ k  e.  A  B
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem sumfc
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
21fvmpt2i 5947 . . 3  |-  ( k  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  (  _I 
`  B ) )
32sumeq2i 13470 . 2  |-  sum_ k  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  sum_ k  e.  A  (  _I  `  B )
4 nffvmpt1 5865 . . 3  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  j )
5 nfcv 2622 . . 3  |-  F/_ j
( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )
6 fveq2 5857 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  j
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )
74, 5, 6cbvsumi 13468 . 2  |-  sum_ j  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  sum_ k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )
8 sum2id 13479 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  (  _I  `  B )
93, 7, 83eqtr4i 2499 1  |-  sum_ j  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  j )  =  sum_ k  e.  A  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    |-> cmpt 4498    _I cid 4783   ` cfv 5579   sum_csu 13457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-sum 13458
This theorem is referenced by:  fsumf1o  13494  sumss  13495  fsumss  13496  fsumcl2lem  13502  fsumadd  13510  isumclim3  13523  isummulc2  13526  fsummulc2  13548  fsumrelem  13570  isumshft  13603  gsumfsum  18245  fprodefsum  28667
  Copyright terms: Public domain W3C validator