Theorem sumex 8241

Description: A sum is a set.

Assertion

Ref	Expression
sumex	|- sum_k e. A B e. _V

Proof of Theorem sumex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 8240	. 2 |- sum_k e. A B = ({x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)})
2		2rexuz 7615	. . . . 5 |- (E.mE.n e. (ZZ>=` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
3	2	abbii 2006	. . . 4 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} = {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))}
4		zex 7353	. . . . 5 |- ZZ e. _V
5		fvex 4689	. . . . . . 7 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) e. _V
6		anass 487	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
7		ancom 482	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
8	6, 7	bitr3i 192	. . . . . . . . 9 |- ((m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
9	8	abbii 2006	. . . . . . . 8 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} = {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))}
10		ssab2 2691	. . . . . . . 8 |- {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))} C_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
11	9, 10	eqsstri 2647	. . . . . . 7 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} C_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
12	5, 11	ssexi 3456	. . . . . 6 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. _V
13	4, 12	abrexex2 4847	. . . . 5 |- {x | E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. _V
14	4, 13	abrexex2 4847	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. _V
15	3, 14	eqeltri 1967	. . 3 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} e. _V
16		abid2 2011	. . . . . . 7 |- {x | x e. CC} = CC
17		axcnex 6419	. . . . . . 7 |- CC e. _V
18	16, 17	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- {x | x e. CC} e. _V
19		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
20		climcl 8238	. . . . . . . . 9 |- ((x e. _V /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
21	19, 20	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x -> x e. CC)
22	21	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
23	22	ss2abi 2679	. . . . . 6 |- {x | (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} C_ {x | x e. CC}
24	18, 23	ssexi 3456	. . . . 5 |- {x | (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. _V
25	4, 24	abrexex2 4847	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. _V
26	25	uniex 3794	. . 3 |- U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. _V
27	15, 26	unex 3796	. 2 |- ({x | E.mE.n e. (ZZ>=` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>=` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)}) e. _V
28	1, 27	eqeltri 1967	1 |- sum_k e. A B e. _V

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591  <.cop 3046  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  {copab 3395   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384   + caddc 6389   <_ cle 6448  ZZcz 6451  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239

This theorem is referenced by:  isum1p 8467  iserzgt0 8472  isummulc1 8473  isumcmpii 8476  isumspliti 8477  fsum0diaglem2 8519  fsum0diag 8520  efval 8570  eff 8575  efaddlem26 8625  efaddlem27 8626  ef1tllem 8643  ef01tllem1 8645  ef01tllem2 8646  ef01tllem2OLD 8647  absef01tllem 8649  reeff1o 8691  fsumcnlem 9267  cntrsetlem 14999  fsumleisumii 15825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-neg 6513  df-z 7345  df-uz 7587  df-clim 8235  df-sum 8240

Copyright terms: Public domain