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Theorem sumeq2w 13174
Description: Equality theorem for sum, when the class expressions  B and  C are equal everywhere. Proved using only Extensionality. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2w  |-  ( A. k  B  =  C  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )

Proof of Theorem sumeq2w
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  n  e. 
_V
2 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
n
3 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
4 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
53, 4nfeq 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
6 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
7 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
86, 7eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  ( B  =  C  <->  [_ n  / 
k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
) )
92, 5, 8spcgf 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  _V  ->  ( A. k  B  =  C  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
) )
101, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C
)
11 ifeq1 3800 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ n  /  k ]_ B  =  [_ n  /  k ]_ C  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
1312mpteq2dv 4384 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
1413seqeq3d 11819 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
1514breq1d 4307 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
1615anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
1716rexbidv 2741 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
18 fvex 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 n )  e. 
_V
19 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( f `  n
)
20 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B
21 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C
2220, 21nfeq 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
23 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  B  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B )
24 csbeq1a 3302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  C  =  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C )
2523, 24eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( B  =  C  <->  [_ ( f `
 n )  / 
k ]_ B  =  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
2619, 22, 25spcgf 3057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  n )  e.  _V  ->  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) )
2718, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  B  =  C  ->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
2827mpteq2dv 4384 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B )  =  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) )
2928seqeq3d 11819 . . . . . . . . 9  |-  ( A. k  B  =  C  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) )
3029fveq1d 5698 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  B  =  C  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
3130eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
3231anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
3332exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3433rexbidv 2741 . . . 4  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3517, 34orbi12d 709 . . 3  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
3635iotabidv 5407 . 2  |-  ( A. k  B  =  C  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
37 df-sum 13169 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
38 df-sum 13169 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
3936, 37, 383eqtr4g 2500 1  |-  ( A. k  B  =  C  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   [_csb 3293    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   iotacio 5384   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NNcn 10327   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442    seqcseq 11811    ~~> cli 12967   sum_csu 13168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-cnv 4853  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-seq 11812  df-sum 13169
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