MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Unicode version

Theorem sumeq2sdv 13294
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  C )
21adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
32sumeq2dv 13293 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   sum_csu 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-seq 11919  df-sum 13277
This theorem is referenced by:  sumsplit  13348  fsumrlim  13387  incexclem  13412  efval  13478  rpnnen2  13621  pcfac  14074  ramcl  14203  cshwshashnsame  14243  fsumcn  20573  fsum2cn  20574  lebnumlem3  20662  uniioombllem6  21196  itg1climres  21320  itgeq1f  21377  itgeq2  21383  dvmptfsum  21575  elplyr  21797  plyeq0lem  21806  plyadd  21813  plymul  21814  coeeu  21821  coelem  21822  coeeq  21823  coeidlem  21833  coeid  21834  coeid2  21835  plyco  21837  plycjlem  21871  aareccl  21920  taylply2  21961  pserdvlem2  22021  pserdv  22022  abelthlem6  22029  abelthlem9  22033  logtayl  22233  leibpi  22465  basellem3  22548  dchrvmasum2if  22874  dchrvmaeq0  22881  rpvmasum2  22889  dchrisum0re  22890  brcgr  23293  axsegcon  23320  dipfval  24244  ipval  24245  itgeq12dv  26851  eulerpartleme  26885  eulerpartlemr  26896  eulerpartlemn  26903  iprodgam  27645  bpolylem  28330  bpolyval  28331  rrnmval  28870  fsumcnf  29886  stoweidlem17  29955  stoweidlem26  29964  stoweidlem30  29968  stoweidlem32  29970  fsumshftd  32921
  Copyright terms: Public domain W3C validator