MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Unicode version

Theorem sumeq2sdv 13673
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1  |-  ( ph  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  C )
21adantr 463 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  =  C )
32sumeq2dv 13672 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   sum_csu 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-sum 13656
This theorem is referenced by:  sumsplit  13732  fsumrlim  13774  incexclem  13797  bpolylem  13991  bpolyval  13992  efval  14022  rpnnen2  14166  pcfac  14625  ramcl  14754  cshwshashnsame  14795  fsumcn  21664  fsum2cn  21665  lebnumlem3  21753  uniioombllem6  22287  itg1climres  22411  itgeq1f  22468  itgeq2  22474  dvmptfsum  22666  elplyr  22888  plyeq0lem  22897  plyadd  22904  plymul  22905  coeeu  22912  coelem  22913  coeeq  22914  coeidlem  22924  coeid  22925  coeid2  22926  plyco  22928  plycjlem  22963  aareccl  23012  taylply2  23053  pserdvlem2  23113  pserdv  23114  abelthlem6  23121  abelthlem9  23125  logtayl  23333  leibpi  23596  basellem3  23735  dchrvmasum2if  24061  dchrvmaeq0  24068  rpvmasum2  24076  dchrisum0re  24077  brcgr  24607  axsegcon  24634  dipfval  26012  ipval  26013  itgeq12dv  28760  eulerpartleme  28794  eulerpartlemr  28805  eulerpartlemn  28812  iprodgam  29938  fwddifnval  30488  rrnmval  31586  fsumshftd  31955  fsumcnf  36756  dvmptfprod  37091  stoweidlem17  37148  stoweidlem26  37157  stoweidlem30  37161  stoweidlem32  37163  dirkertrigeq  37232  dirkeritg  37233  fourierdlem83  37321  fourierdlem103  37341  etransclem46  37412  nnsum3primes4  37817  nnsum4primesodd  37825  nnsum4primesoddALTV  37826  nnsum4primesevenALTV  37830  nn0sumshdiglemB  38732  nn0sumshdiglem1  38733  aacllem  38841
  Copyright terms: Public domain W3C validator