MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2ii Structured version   Unicode version

Theorem sumeq2ii 13747
Description: Equality theorem for sum, with the class expressions  B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
2 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
3 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
4 nfcv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k  _I
5 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
64, 5nffv 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)
7 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
84, 7nffv 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
)
96, 8nfeq 2595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)  =  (  _I 
`  [_ n  /  k ]_ C )
10 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
1110fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) )
12 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
1312fveq2d 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
1411, 13eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
159, 14rspc 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  (  _I  `  [_ n  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
162, 3, 15sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
1716ifeq1da 3939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
18 fvif 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )
19 fvif 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )
2017, 18, 193eqtr4g 2488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
2120mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
2221fveq1d 5880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x ) )
23 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
24 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
2523, 24fvmptex 5973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )
26 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
27 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
2826, 27fvmptex 5973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x )
2922, 25, 283eqtr4g 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x ) )
301, 29seqfeq 12238 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
3130breq1d 4430 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
3231anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
3332rexbidva 2936 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
34 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
35 nnuz 11195 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3634, 35syl6eleq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
37 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
3837ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
39 ffvelrn 6032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4038, 39sylancom 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
41 simplll 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
42 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
43 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
4442, 43nfeq 2595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
45 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
46 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
4745, 46eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
4844, 47rspc 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
4940, 41, 48sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
50 fvex 5888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
51 csbfv2g 5914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
53 csbfv2g 5914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
5450, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
5549, 52, 543eqtr3g 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
56 elfznn 11829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
5756adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
58 fveq2 5878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
5958csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
60 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
6159, 60fvmpti 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
6257, 61syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
6358csbeq1d 3402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
64 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
6563, 64fvmpti 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
6657, 65syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
6755, 62, 663eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
6836, 67seqfveq 12237 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
6968eqeq2d 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7069pm5.32da 645 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
7170exbidv 1758 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
7271rexbidva 2936 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
7333, 72orbi12d 714 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
7473iotabidv 5583 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
75 df-sum 13741 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
76 df-sum 13741 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
7774, 75, 763eqtr4g 2488 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081   [_csb 3395    C_ wss 3436   ifcif 3909   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479    _I cid 4760   iotacio 5560   -->wf 5594   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543   NNcn 10610   ZZcz 10938   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785    seqcseq 12213    ~~> cli 13536   sum_csu 13740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-seq 12214  df-sum 13741
This theorem is referenced by:  sumeq2  13748  sum2id  13762
  Copyright terms: Public domain W3C validator