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Theorem sumeq2ii 13191
Description: Equality theorem for sum, with the class expressions  B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
2 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
3 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
4 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k  _I
5 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
64, 5nffv 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)
7 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
84, 7nffv 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
)
96, 8nfeq 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)  =  (  _I 
`  [_ n  /  k ]_ C )
10 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
1110fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) )
12 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
1312fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
1411, 13eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
159, 14rspc 3088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  (  _I  `  [_ n  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
162, 3, 15sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
17 iftrue 3818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
19 iftrue 3818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2116, 18, 203eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  A  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) ) )
23 iffalse 3820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
24 iffalse 3820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
2523, 24eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2622, 25pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
27 fvif 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )
28 fvif 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )
2926, 27, 283eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3029mpteq2dv 4400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
3130fveq1d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x ) )
32 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
33 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
3432, 33fvmptex 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
36 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3735, 36fvmptex 5805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x )
3831, 34, 373eqtr4g 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x ) )
391, 38seqfeq 11852 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
4039breq1d 4323 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
4140anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
4241rexbidva 2753 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
43 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
44 nnuz 10917 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4543, 44syl6eleq 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
46 f1of 5662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
48 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4947, 48sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
50 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
51 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
52 nfcsb1v 3325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
5351, 52nfeq 2599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
54 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
55 csbeq1a 3318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
5654, 55eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
5753, 56rspc 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
5849, 50, 57sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
59 fvex 5722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
60 csbfv2g 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
62 csbfv2g 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
6458, 61, 633eqtr3g 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
65 elfznn 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
67 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
6867csbeq1d 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
69 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
7068, 69fvmpti 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7267csbeq1d 3316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
73 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
7472, 73fvmpti 5794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7566, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7664, 71, 753eqtr4d 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
7745, 76seqfveq 11851 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
7877eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7978pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
8079exbidv 1680 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8180rexbidva 2753 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8242, 81orbi12d 709 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
8382iotabidv 5423 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
84 df-sum 13185 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
85 df-sum 13185 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8683, 84, 853eqtr4g 2500 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 2993   [_csb 3309    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    _I cid 4652   iotacio 5400   -->wf 5435   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   NNcn 10343   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458    seqcseq 11827    ~~> cli 12983   sum_csu 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-seq 11828  df-sum 13185
This theorem is referenced by:  sumeq2  13192  sum2id  13206
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