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Theorem sumeq2ii 13154
Description: Equality theorem for sum, with the class expressions  B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
2 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
3 simplll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
4 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k  _I
5 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
64, 5nffv 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)
7 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
84, 7nffv 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
)
96, 8nfeq 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)  =  (  _I 
`  [_ n  /  k ]_ C )
10 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
1110fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) )
12 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
1312fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
1411, 13eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
159, 14rspc 3056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  (  _I  `  [_ n  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
162, 3, 15sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
17 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
1817adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
19 iftrue 3785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2019adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2116, 18, 203eqtr4d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  A  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) ) )
23 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
24 iffalse 3787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
2523, 24eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2622, 25pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
27 fvif 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )
28 fvif 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )
2926, 27, 283eqtr4g 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3029mpteq2dv 4367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
3130fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x ) )
32 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
33 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
3432, 33fvmptex 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )
35 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
36 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3735, 36fvmptex 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x )
3831, 34, 373eqtr4g 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x ) )
391, 38seqfeq 11815 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
4039breq1d 4290 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
4140anbi2d 696 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
4241rexbidva 2722 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
43 simplr 747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
44 nnuz 10884 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4543, 44syl6eleq 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
46 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
4746ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
48 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4947, 48sylancom 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
50 simplll 750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
51 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
52 nfcsb1v 3292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
5351, 52nfeq 2576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
54 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
55 csbeq1a 3285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
5654, 55eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
5753, 56rspc 3056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
5849, 50, 57sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
59 fvex 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
60 csbfv2g 5715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
62 csbfv2g 5715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
6458, 61, 633eqtr3g 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
65 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
6665adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
67 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
6867csbeq1d 3283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
69 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
7068, 69fvmpti 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7267csbeq1d 3283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
73 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
7472, 73fvmpti 5761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7566, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7664, 71, 753eqtr4d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
7745, 76seqfveq 11814 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
7877eqeq2d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7978pm5.32da 634 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
8079exbidv 1679 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8180rexbidva 2722 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8242, 81orbi12d 702 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
8382iotabidv 5390 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
84 df-sum 13148 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
85 df-sum 13148 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8683, 84, 853eqtr4g 2490 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   [_csb 3276    C_ wss 3316   ifcif 3779   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    _I cid 4618   iotacio 5367   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273   NNcn 10310   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424    seqcseq 11790    ~~> cli 12946   sum_csu 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-seq 11791  df-sum 13148
This theorem is referenced by:  sumeq2  13155  sum2id  13169
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