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Theorem sumeq2ii 13478
Description: Equality theorem for sum, with the class expressions  B and  C guarded by  _I to be always sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ii  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem sumeq2ii
Dummy variables  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
2 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  n  e.  A )
3 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
4 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k  _I
5 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
64, 5nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)
7 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ C
84, 7nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
)
96, 8nfeq 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
)  =  (  _I 
`  [_ n  /  k ]_ C )
10 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
1110fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) )
12 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  C  =  [_ n  /  k ]_ C )
1312fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
1411, 13eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
159, 14rspc 3208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  (  _I  `  [_ n  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ) )
162, 3, 15sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  (  _I  ` 
[_ n  /  k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) )
17 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B ) )
19 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C ) )
2116, 18, 203eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  n  e.  A
)  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  A  ->  if (
n  e.  A , 
(  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) ) )
23 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
24 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  (  _I  ` 
0 ) )
2523, 24eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  n  e.  A  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
2622, 25pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) ) )
27 fvif 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ B
) ,  (  _I 
`  0 ) )
28 fvif 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  if ( n  e.  A ,  (  _I  `  [_ n  /  k ]_ C
) ,  (  _I 
`  0 ) )
2926, 27, 283eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3029mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I  `  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
3130fveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
3432, 33fvmptex 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  x )
35 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )
3735, 36fvmptex 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  (  _I 
`  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) `  x )
3831, 34, 373eqtr4g 2533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  /\  x  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) `  x ) )
391, 38seqfeq 12100 . . . . . . 7  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) ) )
4039breq1d 4457 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
4140anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
4241rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
43 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
44 nnuz 11117 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4543, 44syl6eleq 2565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
46 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... m
) --> A )
4746ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  f : ( 1 ... m ) --> A )
48 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : ( 1 ... m ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... m ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
4947, 48sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
f `  x )  e.  A )
50 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C ) )
51 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  B )
52 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C )
5351, 52nfeq 2640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
)  =  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )
54 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B
) )
55 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (  _I  `  C )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
5654, 55eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
(  _I  `  B
)  =  (  _I 
`  C )  <->  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ (  _I  `  B )  =  [_ ( f `  x
)  /  k ]_ (  _I  `  C ) ) )
5753, 56rspc 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) ) )
5849, 50, 57sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  = 
[_ ( f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C
) )
59 fvex 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
60 csbfv2g 5903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
) )
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ B
)
62 csbfv2g 5903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
6359, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  [_ (
f `  x )  /  k ]_ (  _I  `  C )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
)
6458, 61, 633eqtr3g 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (  _I  `  [_ ( f `
 x )  / 
k ]_ B )  =  (  _I  `  [_ (
f `  x )  /  k ]_ C
) )
65 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 ... m )  ->  x  e.  NN )
6665adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  x  e.  NN )
67 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  (
f `  n )  =  ( f `  x ) )
6867csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B )
69 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B
)
7068, 69fvmpti 5949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ B ) )
7267csbeq1d 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  x  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C  =  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C )
73 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)  =  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
)
7472, 73fvmpti 5949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7566, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
)  =  (  _I 
`  [_ ( f `  x )  /  k ]_ C ) )
7664, 71, 753eqtr4d 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  x  e.  ( 1 ... m
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) `  x
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) `  x
) )
7745, 76seqfveq 12099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) )
7877eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m )  <->  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) )
7978pm5.32da 641 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ C
) ) `  m
) ) ) )
8079exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C )  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8180rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8242, 81orbi12d 709 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
8382iotabidv 5572 . 2  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )  =  ( iota
x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n )  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) ) )
84 df-sum 13472 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ) ) `  m ) ) ) )
85 df-sum 13472 . 2  |-  sum_ k  e.  A  C  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ C ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ C ) ) `  m ) ) ) )
8683, 84, 853eqtr4g 2533 1  |-  ( A. k  e.  A  (  _I  `  B )  =  (  _I  `  C
)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  A  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   iotacio 5549   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495   NNcn 10536   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075    ~~> cli 13270   sum_csu 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-sum 13472
This theorem is referenced by:  sumeq2  13479  sum2id  13493
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